任意三角函数的定义(PPT课件).ppt

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1、1．2．1三角函数的定义（一）1.初中学过的锐角三角函数的定义:在直角三角形ABC中，角C是直角，角A为锐角，则用角A的对边BC，邻边AC和斜边AB之间的比值来定义角A的三角函数.2.用坐标的形式表示出初中所学的锐角三角函数：以坐标原点为角α的顶点，以OX轴的正方向为角α的始边，则角α的终边落在直角坐标系的第一象限内，若点P(x,y)是角α终边上的任意一点，点P到原点O的距离是r,试将角α的三角函数用x、y、r的式子表示出来sinα=，cosα=，tanα=。3.任意角的三角函数:（1）确立任意角α在直角坐标系中的位置；以坐标原点为角α的顶点，以OX轴的正方向为角α的始边；（2）在其

2、终边上取点A，使OA=1，点A的坐标为(l,m)，再任取一点P(x,y)，设点P到原点的距离为r，OP=r（r≠0），根据三角形的相似知识得：因为A、P在同一象限内，所以它们的坐标符号相同，因此得不论点P在终边上的位置如何，它们都是定值，它们只依赖于α的大小，与点P在α终边上的位置无关。即当点P在α的终边上的位置变化时，这三个比值始终等于定值。叫做角α的余弦，记作cosα,即cosα=；叫做角α的正弦，记作sinα，即sinα=；叫做角α的正切，记作tanα，即tanα=依照上述定义，对于每一个确定的角α，都分别有唯一确定的余弦值、正弦值与之对应：当α≠2kπ±(k∈Z)时，它有唯一

3、的正切值与之对应.因此这三个对应法则都是以α为自变量的函数，分别叫做角α的余弦函数、正弦函数和正切函数。3.角α的其他三种函数：角α的正割：角α的余割：角α的余切：4.几点说明：(1)这里提到的角α是“任意角”，当β=2kπ+α(k∈Z)时，β与α的同名三角函数值应该是相等的，即凡是终边相同的角的三角函数值都相等。(2)定义中只说怎样的比值叫做α的什么函数，并没有说α的终边在什么位置（终边在坐标轴上除外），即函数的定义与α的终边位置无关。实际上，如果终边在坐标轴上，上述定义同样适用。(3)三角函数是以“比值”为函数值的函数。(4)对于正弦函数sinα=,因为r>0，所以恒有意义，即α

4、取任意实数，恒有意义，也就是说sinα恒有意义，所以正弦函数的定义域是R；类似地可写出余弦函数的定义域是R；对于正切函数tanα=,因为x=0时，无意义，又当且仅当α的终边落在y轴上时，才有x=0，所以当α的终边落不在y轴上时，恒有意义，即tanα=恒有意义，所以正切函数的定义域是{α

5、α≠kπ+（k∈Z）}从而三角函数的定义域是y=sinα,α∈Ry=cosα,α∈Ry=tanα,α≠kπ+（k∈Z）例1.已知角α的终边过点P（2，－3），求α的六个三角函数值。解：因为x=2，y=－3，所以sinα=cosα=tanα=cotα=secα=cscα=解：（1）因为当α=0时，x=r

6、，y=0.所以例2.求下列各角六个三角函数值：（1）0；（2）π；（3）sin0=0，cos0=1，tan0=0，csc0不存在，sec0=1，cot0不存在.(2)π；解：（2）因为当α=π时，x=－r，y=0.所以sinπ=0，cosπ=－1，tanπ=0，Cscπ不存在，secπ=－1，cotπ不存在.(3)解：（3）因为当α=时，x=0，y=－r.所以sin=－1，cos=0，tan不存在，csc=－1，sec不存在，cot=0.例3.角α的终边过点P(－b，4)，且cosα=则b的值是（）解：r=cosα=解得b=3.（A）3（B）－3（C）±3（D）5A例4.在直角坐标系

7、中，终边过点(1，)的所有角的集合是.解：点(1，)在第一象限，且x=1，y=所以r=2，sinα=，cosα=所以满足条件的角α=2kπ+{α

8、α=2kπ+，k∈Z}例5.已知角α的终边上一点P(－，y)(其中y≠0)，且sinα=，求cosα和tanα.解：sinα=解得y2=5，y=当y=时，cosα=,tanα=当y=－时，cosα=,tanα=