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1、归纳法归纳法是由一系列有限的特殊事例得出一般规律的推理方法。例如、求前n个奇数的和。分析：如用S(n)表示前n个奇数的和，则S(1)=1,S(2)=1+3=4,S(3)=1+3+5=9,S(4)=1+3+5+7=16,S(5)=1+3+5+7+9=25。可以看出，当n取1，2，3，4，5时，S(n)=n2。因此可以归纳出求前n个奇数的和的一般规律，即S(n)=n2。上面的归纳法是不完全归纳法，因为由它得到的结论不一定对任意的n都成立．17世纪著名的德国数学家莱布尼兹曾证明，对于所有的正整数n，数n3-n能被3整除
2、，数n5-n能被5整除，数n7-n能被7整除，因此他猜测：对所有的奇数k和任意的自然数n，数nk-n能被k整除。29-2=510不能被9整除要证明对所有的n都成立，就必须使用下面介绍的数学归纳法．1、证明当n取第一个值n0时结论正确。2、假设当n=k时结论成立，证明当n=k+1时结论也成立。证明：１、当n=１时，左边＝１，右边＝１，此时等式成立。２、假设当n=k时等式成立，即１＋３＋５＋…＋（２k-1)=k2，那么当n=k+1时１＋３＋５＋…＋（２k-1）+[2(k+1)-1]=k2+2(k+1)-1=k2+2k
3、+1=(k+1)2练习1如图所示：线段AB上共有10个点（包括两个端点），那么这条线段上一共有多少条不同的线段？分析:先从AB之间只有一个点开始，再逐步增加AB之间的点数，找出点和线段之间的规律。AB之间只有1个点：线段有1+2=3条。AB之间只有2个点：线段有1+2+3=6条。AB之间只有3个点：线段有1+2+3+4=10条。AB之间只有4个点：线段有1+2+3+4+5=15条。……不难发现，当AB之间有8个点时，线段有1+2+3+4+5+6+7+8+9=45条。若再进一步研究可得出这样得规律，线段数=。教学中
4、要训练学生用不完全归纳法解题练习2在一张四边形纸上共有10个点，如果把四边形的顶点算在一起，则一共有14个点。已知这些点中的任意三个点都不在同一直线上。按照下面规定把这张纸片剪成一些三角形：⑴每个三角形的顶点都是这14个点中的3个；⑵每个三角形内都不再有这些点。那么，这张四边形的纸最多可以剪出（）个三角形。在10个点中任意取一点，与四边形的四个顶点构成4个三角形。再在剩下的9个点中任意取一点，它必定落在某一个三角形中，只能与三角形的三个顶点构成三个三角形，即增加2个三角形。以后各点情况都与此相同，除了第一点增加4
5、个三角形外，其余各点都只增加2个三角形。所以共可以剪出4+(10－1)×2=22（个）三角形。4+2×(n-1)练习3将Ln定义为求在一个平面中用n条直线所能确定的最大区域数目。例如：当n=1时，L1=2，进一步考虑，用n条直线，放在平面上，能确定的最大区域数目Ln是多少？1234567891011n=1,L1=2,F(1)=2;n=2,L2=4,F(2)=F(1)+2;n=3,L3=7,F(3)=F(2)+3;n=4,L4=11,F(4)=F(3)+4;n=5,L5=16,F(5)=F(4)+5;…可得到递推公
6、式：F(n)=F(n-1)+n,F(n)=n+(n-1)+(n-2)+…+2+F(1)=练习4将一张长方形的纸对折，可得到一条折痕，继续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，连续对折三次后，可得到７条折痕，那么对折n次，可得到几条折痕？第一次对折1条折痕，第二次对折3条折痕，第三次对折7条折痕，第四次对折15条折痕，…所以我们猜想第n次对折后的折痕条数是2n-1．练习5如图,第一次把三角形剪去一个角后,图中最多有四个角,第二次再把新产生的角各剪一刀,…,如此下去,每一次都是把新产生的角各剪一刀,则第n次剪好后
7、,图中最多有多少个角?可知后一次新产生的角的个数是前一次新产生的角的个数的２倍，再加上２就是后一次产生的角的总数。因此，剪n次后，图中最多有角：2+2n练习6下图中把大正方形各边平均分成了5份，此时有55个正方形。如果把正方形各边平均分成n份，那么得到的正方形总数为多少？52+42+32+22+12=55n2+(n-1)2+(n-2)2+…+22+12=1/6n(n+1)(2n+1)练习7如图所示，在正六边形A周围画出6个同样的正六边形（阴影部分），围成第1圈；在第1圈外面再画出12个同样的正六边形，围成第2圈。
8、按这个方法继续画下去，当画完第10圈时，图中共有多少个与A相同的正六边形？第一圈有6个正六边形；第二圈有6×2个正六边形；第三圈有6×3个正六边形；……第n圈有6×n个正六边形；所以图中共有1+6×（1+2+3+4+5+6+7+8+9+10）=331个正六边形。练习8在n×n的正方形钉子板上（n是钉子板每边上的钉子数），求连接任意两个钉子所得到的不同长度的线段种数.925
