二次根式全章复习与巩固(提高)知识讲解.doc

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1、《二次根式》全章复习与巩固--知识讲解（提高）【学习目标】1、理解并掌握二次根式、最简二次根式、同类二次根式的定义和性质.2、熟练掌握二次根式的加、减、乘、除运算，会用它们进行有关实数的四则运算.3、了解代数式的概念，进一步体会代数式在表示数量关系方面的作用.【知识网络】【要点梳理】知识点一、二次根式的相关概念和性质1.二次根式形如的式子叫做二次根式，如等式子，都叫做二次根式.要点诠释：二次根式有意义的条件是，即只有被开方数时，式子才是二次根式，才有意义.2.二次根式的性质（1）；（2）；（3）.要点

2、诠释：（1）一个非负数可以写成它的算术平方根的平方的形式，即（），如（）.（2）中的取值范围可以是任意实数，即不论取何值，一定有意义.（3）化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简.（4）与的异同不同点：中可以取任何实数，而中的必须取非负数；=，=（）.相同点：被开方数都是非负数，当取非负数时，=.3.最简二次根式1）被开方数是整数或整式；2)被开方数中不含能开方的因数或因式.满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.如等都是最简二次根式.要点诠释：最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不

3、含分母；（2）被开方数中每个因式的指数都小于根指数2.4.同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式.要点诠释：判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断.如与，由于=，与显然是同类二次根式.知识点二、二次根式的运算1.乘除法（1）乘除法法则：类型法则逆用法则二次根式的乘法积的算术平方根化简公式：二次根式的除法商的算术平方根化简公式：要点诠释：（1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如.

4、（2）被开方数a、b一定是非负数（在分母上时只能为正数）.如.2.加减法将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式.要点诠释：二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合并同类二次根式.如.【典型例题】类型一、二次根式的概念与性质1．x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？　　(1)；　　　(2).【答案】（1）;（2）.【解析】(1)要使在实数范围内有意义，则必有　　　　　∴当时，在实数范围内有意义；　

5、　(2)要使在实数范围内有意义，则必有　　　　　∴当时，在实数范围内有意义；【总结升华】本例考查了二次根式成立的条件，要牢记，只有时才是二次根式.　举一反三：【变式】已知，求的值.【答案】根据二次根式的意义有　　　　将代入已知等式得2.把根号外的因式移到根号内，得(　).　　A．　　B．　　C．　　D．　【答案】C.　【解析】由二次根式的意义知x＜0，则　　.【总结升华】在利用二次根式性质化简时，要注意其符号，要明确是非负数，反过来将根号外的因式移到根号内时，也必须向里移非负数。如此例中x＜0，所以只

6、能向根号里移，到根号里面要变成.举一反三：【变式】（2014春•团风县校级期中）已知x为奇数，且=，求•．【答案】解：∵=，∴6≤x＜9，∵x为奇数，∴x=7，则•=8×=12．3.实数在数轴上对应的点如图：化简.【答案与解析】由数轴可知并且===【总结升华】本题不仅考查了二次根式和绝对值的化简问题，同时考查了学生的观察能力.通过观察确定的大小关系是本题的关键.举一反三：【变式】ABC的三边长为a、b、c，则=.【答案】.类型二、二次根式的运算4．（2015•昆山市一模）计算（1）（2）．　【答案与解

7、析】解：（1）原式=2﹣1+3=4；（2）原式=2﹣3﹣﹣2=﹣﹣3．　【总结升华】此题考查二次根式的混合运算，正确掌握二次根式的性质化简以及乘法计算公式是解决问题的关键．举一反三：【变式】计算【答案】　5.已知a、b、c为△ABC的三边长，化简　　　【答案与解析】∵a、b、c为△ABC的三边长，　　　　∴原式　　　　【总结升华】利用三角形任意两边之和大于第三边和进行化简.6.若，化简.【答案与解析】【总结升华】把分子分母分别分解因式，然后约分，可以简化化简步骤.举一反三：【变式】当.【答案】，将代入

8、，原式=3.