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1、§5.5二次型及其标准形一、二次型及其标准形的概念定义:含有n个变量x1,x2,···,xn的二次齐次函数f(x1,x2,···,xn)=a11x12+a22x22+···+annxn2+2a12x1x2+2a13x1x3+···+2an-1,nxn-1xn称为二次型.当aij是复数时,称f为复二次型.当aij是实数时,称f为实二次型.只含有平方项的二次型f(x1,x2,···,xn)=k1y12+k2y22+···+knyn2称为二次型的标准形(或法式).如果二次型的标准型的系数仅为1,–1,0
2、,即f(x1,x2,···,xn)=y12+···+yp2–yp+12–···–yr2,称为二次型的规范型.例如:f1(x1,x2,x3)=2x12+4x22+5x32–4x1x2;f2(x1,x2,x3)=x1x2+x1x3+x2x3f3(x1,x2,x3)=x12+4x22+4x32都为二次型,而f3为二次型的标准形.二、二次型的表示方法对二次型1.用和号表示f(x1,x2,···,xn)=a11x12+a22x22+···+annxn2+2a12x1x2+2a13x1x3+···+2an-1
3、nxn-1xn取aji=aij,则2aijxixj=aijxixj+ajixjxi,于是=a11x12+a12x1x2+···+a1nx1xn+a21x2x2+a22x22+···+a2nx2xn+············+an1xnx1+an2xnx2+···+annxn2f(x1,x2,···,xn)2.用矩阵表示=x1(a11x1+a12x2+···+a1nxn)+x2(a21x2+a22x2+···+a2nxn)+···+xn(an1x1+an2x2+···+annxn)f(x1,x2,·
4、··,xn)则二次型可记作f=xTAx,其中A为对称矩阵.若记三、二次型的矩阵及秩在二次型的矩阵表示中,任给一个二次型,就唯一地确定一个对称矩阵;反之,任给一个对称矩阵,也可唯一地确定一个二次型.这样,二次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系．对称矩阵A叫做二次型f的矩阵,f叫做对称矩阵A的二次型,对称矩阵A的秩叫做二次型f的秩.例1:写出二次型f=x12+2x22–3x32+4x1x2–6x2x3的矩阵.解:由f=x12+2x22–3x32+4x1x2–6x2x3,得a11=1,a22=2,a33
5、=–3,a12=a21=2,a13=a31=0,a23=a32=–3.所以四、化二次型为标准形设对于二次型,我们讨论的主要问题是:寻求可逆的线性变换,将二次型化为标准形.记C=(cij),则上述可逆线性变换可记作:x=Cy.将其代入f=xTAx,得f=xTAx=(Cy)TA(Cy)=yT(CTAC)y.定义:设A,B为n阶矩阵,若有可逆矩阵C使得B=CTAC,则称B为A的合同矩阵,也称矩阵C为将A变为B的合同变换矩阵.显然,矩阵的合同关系也是等价的.结论:任给可逆矩阵C,令B=CTAC,如果A为对
6、称矩阵,则B也为对称矩阵,且R(A)=R(B).证明:当A为对称矩阵时,即有A=AT,于是BT=(CTAC)T=CTATC=CTAC=B,即B为对称矩阵.因为B=CTAC,所以R(B)R(AC)R(A);又因为A=(CT)-1BC-1,所以R(A)R(BC-1)R(B);所以,R(A)=R(B).说明1:二次型f经可逆变换x=Cy后,其秩不变,但f的矩阵由A变为B=CTAC;说明2:要使二次型f=xTAx经可逆变换x=Cy变成标准形,就是要使,yT(CTAC)y=k1y12+k2y22+·
7、··+knyn2也就是要使CTAC成为对角矩阵.由上节知,对任意实对称矩阵A,总有正交矩阵P,使P-1AP=,即PTAP=.把此结论应用于二次型,有定理8:任给二次型f=xTAx,总有正交变换y=Px,使f化为标准形:f=1y12+2y22+···+nyn2,其中1,2,···,n是二次型f的矩阵A的特征值.用正交变换化二次型为标准形的具体步骤:1.将二次型表示成矩阵形式f=xTAx,求出A;2.求出A的所有特征值1,2,···,n;3.求出对应特征值i的正交单位化的特征向
8、量组,从而有正交规范向量组1,2,···,n;4.记P=(1,2,···,n),作正交变换x=Py,则得f的标准形:f=1y12+2y22+···+nyn2.如果需要将二次型的标准型f=yTy=1y12+2y22+···+nyn2化为规范型,再作线性变换y=Kz.不妨设二次型f的秩为r,且ir时,i0,i>r时,i=0.其中则从而f=yTy=zTKTKz即KTK=diag例2:将二次型通过正交变换x=Py化成标准形.f=17x12+14x22
