专题19：动态几何之定值问题探讨.doc

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1、[2013年中考攻略】专题19：动态几何之定值问题探讨动态题是近年来屮考的的一个热点问题，动态包括点动、线动和面动三大类，解这类题目要“以静制动"，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况。常见的题型包括最值问题、面积问题、和并问题、定值问题和存在性问题等。前血我们已经对最值问题、面积问题、和差问题进行了探讨，本专题对定值问题进行探讨。结合2011年和2012年全国各地屮考的实例，我们从三方面进行动态几何之定值问题的探讨：（1）线段（和差）为定值问题；（2）面积（和差）为定值问题；（3）其它定值问题。一、线段（和差）为定值问题：典型例题：例1：（2012黑龙江绥化8

2、分）如图，点E是矩形ABCD的对角线BD±的一点，且BE=BC,AB=3,BC=4,点P为頁线EC±的一点，且PQ丄BC于点Q,PR丄BD于点R.12（1）如图1,当点P为线段EC中点时，易证：PR+PQ=—（不需证明）.（2）如图2,当点P为线段EC±的任意一点（不与点E、点C重合）时，其它条件不变，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理rfl.（3）如图3,当点P为线段EC延长线上的任意一点时，其它条件不变，则PR与PQZ间又具有怎样的数量关系？请育接写出你的猜想.【答案】解:12（2）图2屮结论PR+PQ=—仍成立。证明如下:连接BP,过C点作CK丄BD

3、于点K。•・•四边形ABCD为矩形，・・・ZBCD=90。。又・・•CD=AB=3,BC=4…BD=VCD2+BC2=a/32+42=5。图2锦元数学工作室绘制vsabcd=-BC

4、理。【分析】（2）连接BP,过C点作CK丄BD于点K.根据炬形的性质及勾股定理求出BD的长，根据一角形面积相等可求出CK的长，最际通过等量代换即可证明。（3）图3中的结论是PR_PQ=125o连接BP,SABpe-SAbcp=Sabec^SABEC是固定值，BE=BC为两12个底，PR,PQ分别为高，从而PR-PQ=—o例2：（2012江西省10分）如图，已知二次函数Sy二x?・4x+3与x轴交于A.B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C.（1）写出二次函数b的开I」方向、对称轴和顶点坐标;(2)研究二次函数L2：y二kx2-4kx+3k(kHO).%1写岀一・次函数L2与二次函数■有关

5、图象的两条相同的性质;%1是否存在实数k,使AABP为等边三角形？如果存在，请求出k的值；如不存在，请说明理rh；%1若玄线y=8k与抛物线•交于E、F两点，问线段EF的长度是否发生变化？如果不会，请求x出EF的长度;如果会,【答案】解：(1)・・・抛物线y=x2-4x+3=(x-2)2-1,・・・二次函数L］的开口向上,对称轴是直线x=2,顶点坐标（2,-l）o（2）①二次函数5与b有关图象的两条相同的性质:对称轴为x=2；都经过A(1,0),B(3,0)两点。②存在实数k,使AABP为等边三角形.Ty=kx‘-4kx+3k=k(x-2)‘-k,・；顶点P(2,—k).VA(1,0),B

6、(3,0),・・・AB二2要使AABP为等边三角形，必满足

7、-k

8、二馆，/.k=±VJo③线段EF的长度不会发生变化。•・•直线y=8k与抛物线L2交于E、F两点,-kx2-4kx+3k=8k,TkHO,-x2-4x+3=8o解得：xf-1,X2=5。・・・EF二X2-xl6。・•・线段EF的长度不会发生变化。【考点】一-次函数综合题，二次函数的性质，等边三角形的性质，解育角三角形。【分析】(1)抛物线y=ax2+bx+c屮：a的值决定了抛物线的开口方向，a>0时，抛物线的开口向上；aVO时，抛物线的开口向下。抛物线的对称轴方程和顶点坐标，可化为顶点式或用公式求解。(2)①新函数是由原

9、函数的各项系数同时乘以k所得，因此从二次函数的图象与解析式的系数的关系入手进行分析。%1当△ABP为等边三角形时，P点必为函数的顶点，首先表示出P点纵坐标，它的绝对值正好是等边三角形边长的晅倍，由此确定k的值。2%1联立育线和抛物线L的解析式，先求出点E、F的坐标，从而可表示出EF的长,若该长度为定值，则线段EF的长不会发生变化。例3：(2012山东德州12分)如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD,点P为正方形