专题09 动态几何定值问题（解析版）

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1、玩转压轴题，争取满分之备战2018年中考数学解答题高端精品专题九动态几何定值问题【考题研究】数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈。动态题是近年来中考的的一个热点问题，以运动的观点探究几何图形的变化规律问题，称之为动态几何问题，随之产生的动态几何试题就是研究在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题，就其运动对象而言，有点动、线动、面动三大类，就其运动形式而言，有轴对称（翻折）、平移、旋转（中心对称、滚动）等，就问题类型而言，有函数关系和图象问题、面积问题、最值问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。解这类题目要“以

2、静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况。以动态几何问题为基架而精心设计的考题，可谓璀璨夺目、精彩四射。【解题攻略】动态几何形成的定值和恒等问题是动态几何中的常见问题，其考点包括线段（和差）为定值问题；角度（和差）为定值问题；面积（和差）为定值问题；其它定值问题。解答动态几何定值问题的方法，一般有两种：第一种是分两步完成：先探求定值.它要用题中固有的几何量表示.再证明它能成立.探求的方法，常用特殊位置定值法，即把动点放在特殊的位置，找出定值的表达式，然后写出证明.第二种是采用综合法，直接写出证明.【解题类型及其思路】在中考中

3、，动态几何形成的定值和恒等问题命题形式主要为解答题。在中考压轴题中，动态几何之定值（恒等）问题的重点是线段（和差）为定值问题，问题的难点在于准确应用适当的定理和方法进行探究。【典例指引】类型一【线段及线段的和差为定值】典例指引1．（福建省泉州台商投资区2017-2018学年期末）在小学，我们知道正方形具有性质“四条边都相等，四个内角都是直角”，请适当利用上述知识，解答下列问题：已知：如图，在正方形ABCD中，AB=4，点G是射线AB上的一个动点，以DG为边向右作正方形DGEF，作EH⊥AB于点H．（1）填空：∠AGD+∠EGH=　　°；（2）若点G在点B的右

4、边．①求证：△DAG≌△GHE；②试探索：EH﹣BG的值是否为定值，若是，请求出定值；若不是，请说明理由．（3）连接EB，在G点的整个运动（点G与点A重合除外）过程中，求∠EBH的度数；【解析】试题分析：（1）根据正方形的性质得到∠DGE=90°，由平角的定义即可得到结论；（2）①根据垂直的定义得到∠GHE=90°，根据余角的性质得到∠GEH=∠AGD，根据正方形的性质得到∠DAG=90°，DG=GE，求得∠DAG=∠GHE，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；②根据全等三角形的性质得到AG=EH，根据线段的和差即可得到结论；（3）下面分两种情况讨论：（I

5、）当点G在点B的左侧时，如图1，根据全等三角形的性质得到GH=DA=AB，EH=AG，于是得到GB+BH=AG+GB，推出△BHE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得到∠EBH=45°；（II） 如图2，当点G在点B的右侧时，根据全等三角形的想知道的GH=DA=AB，EH=AG，于是得到AB+BG=BG+GH，推出△BHE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得到∠EBH=45°；（III）当点G与点B重合时，如图3，根据全等三角形的性质得到GH=DA=AB，EH=AG=AB，推出△GHE（即△BHE）是等腰直角三角形，于是得到∠EBH=45°即

6、可得到结论．试题解析：解：（1）90；（2）①∵EH⊥AB，∴∠GHE90°，∴∠GEH+∠EGH90°，又∠AGD+∠EGH90°，∴∠GEH∠AGD，∵四边形ABCD与四边形DGEF都是正方形，∴∠DAG90°，DGGE，∴∠DAG∠GHE，在△DAG和△GHE中，，∴△DAG≌△GHE（AAS）；②EH﹣BG的值是定值，理由如下：由①证得：△DAG≌△GHE，∴AGEH，又AGABBG，AB4，∴EHAB+BG，EH﹣BGAB4；（3）下面分两种情况讨论：（I）当点G在点B的左侧时，如图1，同（2）①可证得：△DAG≌△GHE，∴GHDAAB，EHAG

7、，∴GB+BHAG+GB，∴BHAGEH，又∠GHE90°∴△BHE是等腰直角三角形，∴∠EBH45°；（II）如图2，当点G在点B的右侧时，由（2）①证得：△DAG≌△GHE．∴GHDAAB，EHAG，∴AB+BGBG+GH，∴AGBH，又EHAG∴EHHB，又∠GHE90°∴△BHE是等腰直角三角形，∴∠EBH45°；（III）当点G与点B重合时，如图3，同理可证：△DAG≌△GHE，∴GHDAAB，EHAGAB，∴△GHE（即△BHE）是等腰直角三角形，∴∠EBH45°综上，在G点的整个运动（点G与点A重合除外）过程中，∠EBH都等于45°。【名师点睛

8、】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等