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1、第四章 李雅普诺夫稳定性分析1892年，李雅普诺夫，在《运动稳定性的一般问题》中系统的建立了运动稳定性理论，给出了运动稳定性的精确定义。李雅普诺夫第二法(直接法)：对于一个动力学系统，如果随着系统的运动，其贮存的能量(能量函数)随着时间的增长而连续地减小，即能量对时间的导数()为负，直至趋于平衡状态而能量趋于极小值，则此系统是稳定的。李雅普诺夫第二法可归结为：在不直接求微分方程解的前提下，通过判断“广义能量函数”―李雅普诺夫函数―及其导数的号性，给出系统平衡状态稳定性的信息。应用李氏稳定理论的关键在于能否找到
2、一个合适的李氏函数，经验表明，在很多情况下，可取为二次型。李氏稳定理论既适用于线性系统，也适用于非线性系统。4-1基本定义平衡状态对于系统对所有t，存在：则称Ｘe为系统的平衡状态。对于线性定常系统,(讨论稳定性无关输入u。)当Ａ为非奇异时，系统只存在一个平衡状态，即Ｘ＝0是唯一的平衡点。当Ａ为奇异时，则系统存在无穷多个平衡状态，对于非线性系统，可有一个或多个平衡状态。任何平衡状态，总可通过坐标变换，将其移至坐标原点，即f(0,t)=0。李雅普诺夫意义下的稳定性系统的平衡状态为Ｘe，f(Xe,t)=0,在t=t0
3、时，有扰动使系统的初态为Ｘ0,产生初始偏差Ｘ0-Xe,则t≥t0后,系统的状态从Ｘ0开始发生变化。Ｅuclid范数：表示初始偏差都在以δ为半径，以平衡状态Ｘe为中心的闭球域S(δ)中，同样，表示平衡状态偏差都在以ε为半径，以平衡状态Xe为中心的闭球域S(ε)中。如果对球域S(ε)，存在着一个球域S(δ)使当t→∞时，从S(δ)出发的轨迹不离开S(ε)，即有:则称平衡状态Ｘe为在李雅普诺夫意义下稳定的(图a)如果平衡状态Ｘe在李雅普诺夫意义下是稳定的，又当t→∞时，从Ｓ(δ)出发的轨迹都不离开Ｓ(ε)，而且收敛于
4、Xe，即有：,则称平衡状态为渐近稳定的。(图b)如果对状态空间中的任意点，不管初始偏差有多大，由这些状态出发的轨迹都保持渐近稳定特性，则称平衡状态Ｘe为大范围渐近稳定的。大范围渐近稳定的必要条件是在整个状态空间中，只有一个平衡状态。如果线性定常系统是渐近稳定的，由于其有唯一解，因此它必定也是大范围渐近稳定的。当t→∞时，在球域Ｓ(δ)的某个状态Ｘ0出发的轨迹最终超越球域Ｓ(ε)，则称平衡状态Ｘe为不稳定的。(图c)纯量函数号性广义能量函数通常是一个二次型纯量函数。当且仅当Ｘ＝0时，有＝0,对任意非零Ｘ，恒有>0
5、则称V(x)为正定。当Ｘ＝0时，有＝0；对任意非零X，有≥0，则称为正半定(或称准正定)。当且仅当X＝0时，有＝0；对任意非零X，恒有<0，负定。当X＝0时，有＝0；对任意非零X，有≤0，则负半定(准负定)。如果无论取多么小的零点的邻域，可为负值，也可为负值，则称不定。二次型V(x)正定性的Sylvester准则李雅普诺夫稳定性理论中的“广义能量函数”V(x)通常为二次型：矩阵P为实对称矩阵。V(x)的正定性可由Sylvester准则来确定：二次型V(x)为正定的充分必要条件是矩阵P的所有主子行列式为正，即：若
6、P是奇异矩阵，并且它的所有主子行列式为非负，则为正半定的。二次型V(x)为负定的充分必要条件是矩阵P的所有主子行列式满足：Δi<0(i为奇数)；Δi>0(i为偶数)(i=1,2,…,n)李雅普诺夫函数——广义能量函数的物理意义图示系统，质量M，弹簧刚度K，阻尼系数B，系统相对于平衡状态的位移为y,速度取状态变量x1＝y,,则有：表示系统的自由运动,为一齐次方程。系统在任一个瞬时的具有的总能量为：弹簧的势能：,质量的动能:即：显然V(x)=V(x1,x2)是正定的，且V(0,0)=0。而能量变化率:显然，无论x1
7、,x2取何值,总是负定的(或负半定)。若B＝0,则，无能量损失，当初始位置偏离平衡位置足够小时，系统将在平衡点足够小的范围内作谐振,系统相对于平衡位置是稳定的(尽管是不断作谐振)。若B≠0,即B>0。此时，系统沿着其运动轨迹有，阻尼器不断消耗系统能量，总能量V(x)不断减小，直至为零，物体趋向平衡位置，系统是渐近稳定的。可见李雅普诺夫函数就是力学系统的能量函数。但并非所有的系统都具有能量概念，如经济系统，生物系统和社会学系统等。因此有必要将上述能量函数的概念推广至系统的所谓李雅普诺夫函数——广义能量函数——的概
8、念上来。4-2李雅普诺夫第二法稳定性分析 基本定理［定理一］系统状态方程：，且f(0,t)=0.如果有连续一阶偏导的纯量函数存在，且满足以下条件：1．V(X,t)是正定的；2．是负定的。则在原点处的平衡状态是渐近稳定的。如果随着‖X‖→∞时，有V(X,t)→∞，则在原点处的平衡状态是在大范围内渐近稳定的。例4-1系统方程为：试确定系统的稳定性解：显然，原点(0,0)为系统唯一的一个平衡
