高等数学讲义 第一章 函数.ppt

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1、高等数学主讲：李铮预备知识1.数学归纳法设P是一个与自然数n有关的命题。如果(1)n=1时，P成立。(2)假设n=k时，P成立，能够推出n=k+1时P也成立。则　命题P对一切自然数n均成立。注：i)如果命题P对于n≥N0时成立，则应验证n=N0时，P成立。ii)也可假设n=1，n=2，…，n=k时，P均成立，能够推出n=k+1，P也成立。2.算术平均值大于等于几何平均值此时，对于算术平均值而言，达到了最小值；对于几何平均值而言，达到了最大值。3.常用记号:　对于任意给定的；：存在第一章　函数函数是高等数学的主要研究对象，它揭示了现实世界中各种变量

2、之间的相互依存关系，是高等数学中最重要的基本概念之一。§1.函数的概念1.实数的绝对值常用的相关不等式2.变量在高等数学中，主要研究变量。常用区间或邻域来表示变量的取值范围1)区间：2)邻域：定义：设有非空数集X和数集Y，如果对于X中的每一个数x,按照对应法则f都对应于Y中唯一的一个确定的数y，则称f为定义在X上的函数，记做f:XY。数x对应的数y称为f的函数值，记作y=f(x)其中X称为函数f的定义域(或D(f))，函数值y的集合称为f的值域,记作f(X)(或R(f))。在本课程中，为了便于讨论具体的函数常把函数f记作f(x)。§2.函数的表示法

3、1.表格法：用表格来表示一种函数关系。3.公式法(或称解析法)：用公式来表示一种函数关系。2.图示法：用图来表示一种函数关系。在函数定义中，对应法则不一定是一个公式，有时需用几个公式加以表达，用多个公式来表示的函数称为分段函数。例3.(Dirichlet)函数是一个定义在[0，2]上的分段函数如[2.3]=2例2.设x为任一实数，不超过x的最大整数称为x的整数部分，记作[x]，称y=[x]为x的取整函数。[-2.3]=?=-3求函数的定义域主要掌握五种基本类型函数定义的两个要素：定义域、对应规律。所以，定义域为(-,0)(0,1)(1,2)(

4、2,+)例4.求下列函数的定义域所以，定义域为[-2，-1）（1，4]解：利用函数的“变量无关性”§3.函数的特性1.奇偶性设X为对称区间或为R=(-，+)例1.判定下列函数的奇偶性所以f(x)=chx为偶函数所以f(x)为奇函数。2.单调性设函数y=f(x)，定义域为X。单调增（或减）函数，简称单调函数。除去等号称为严格单调函数。例2.证明函数f(x)=xcosx在(-，+)上无界。无界也可以定义为：3.有界性设y=f(x)，定义域为X若M>0，xX，有

5、f(x)

6、

7、：周期函数是否一定有最小（正）周期。4.周期性注：定义中也可用T0，此时，最小正周期存在的话，简称周期。设y=f(x),定义域为X，若T>0,使得xX，有xTX且f(x+T)=f(x)。则称f(x)为周期函数，T为一个周期。一般,当最小周期存在时，称最小周期为周期。§4.反函数与复合函数1.反函数习惯上，将函数y=f(x)的反函数用表示。若用x表示自变量，则反函数可记作为设函数y=f(x)的定义域为X，值域为f(X)。若对于每一个yf(X)，有唯一的一个xX与之对应，使得f(x)=y，则在f(X)上定义了一个f的反函数.2.复合函数设

8、函数y=f(u)，uＵ；u=(x)，xX。如果当x在X*(X)中取值时，相应的u值在Ｕ中，那末称y为x的复合函数。定义域为X*，u称为中间变量。在复合过程中，中间变量可多于一个，但不能任意复合。§5.初等函数下列五类函数称为基本初等函数4)三角函数1.基本初等函数5)反三角函数一般来说分段函数不是初等函数。2.初等函数等均为初等函数，凡是由基本初等函数和常数经过有限次四则运算和有限次复合后能用一个公式表示的函数，称为初等函数。shx称为双曲正弦函数，chx称为双曲余弦函数。第一章　重点练习题2.求下列函数的定义域1.用区间表示变量的变化范围3

9、.确定下列函数的奇偶性