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1、§4.5极值问题二、极值的求法三、最大值与最小值一、函数极值的定义四、极值的应用问题1一、函数极值的定义2定义函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.3二、函数极值的求法定理1(必要条件)定义注意:例如,4定理2(第一充分条件)(是极值点情形)5求极值的步骤:(不是极值点情形)6例1解列表讨论极大值极小值7图形如下8例2解9定理3(第二充分条件)证10例3解1112例4解图形如下13注意:14小结极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大值.驻点和不可导点统称为临界点.函数的
2、极值必在临界点取得.判别法第一充分条件;第二充分条件;(注意使用条件)15思考题下命题正确吗？16思考题解答不正确．例17在–1和1之间振荡故命题不成立．18练习题1920练习题答案21三、最大值与最小值问题则其最值只能在极值点或端点处达到.求函数最值的方法:(1)求在内的极值可疑点(2)最大值最小值22特别:当在内只有一个极值可疑点时,当在上单调时,最值必在端点处达到.若在此点取极大值,则也是最大值.(小)对应用问题,有时可根据实际意义判别求出的可疑点是否为最大值点或最小值点.(小)23例1解计算比较得2425例2解
3、2627四、极值的应用问题实际问题求最值的方法:(1)建立目标函数;(2)求最值;28(k为某一常数)例1.铁路上AB段的距离为100km,工厂C距A处20AC⊥AB,要在AB线上选定一点D向工厂修一条已知铁路与公路每公里货运价之比为3:5,为使货D点应如何选取?20解:设则令得又所以为唯一的极小点,故AD=15km时运费最省.总运费物从B运到工厂C的运费最省,从而为最小点,问Km,公路,29清楚(视角最大)?观察者的眼睛1.8m,例2.一张1.4m高的图片挂在墙上,它的底边高于解:设观察者与墙的距离为xm,则令得驻
4、点根据问题的实际意义,观察者最佳站位存在,唯一,驻点又因此观察者站在距离墙2.4m处看图最清楚.问观察者在距墙多远处看图才最30内容小结1.连续函数的极值(1)极值可疑点:使导数为0或不存在的点(2)第一充分条件过由正变负为极大值过由负变正为极小值(3)第二充分条件为极大值为极小值(4)判别法的推广31最值点应在极值点和边界点上找;应用题可根据问题的实际意义判别.思考与练习2.连续函数的最值1.设则在点a处().的导数存在,取得极大值;取得极小值;的导数不存在.B提示:利用极限的保号性.322.设在的某邻域内连续,且则
5、在点处(A)不可导;(B)可导,且(C)取得极大值;(D)取得极小值.D提示:利用极限的保号性.333.设是方程的一个解,若且则在(A)取得极大值;(B)取得极小值;(C)在某邻域内单调增加;(D)在某邻域内单调减少.提示:A34试问为何值时,在时取得极值,还是极小.解:由题意应有又取得极大值为备用题1.求出该极值,并指出它是极大35试求解:2.故所求最大值为36小结注意最值与极值的区别.最值是整体概念而极值是局部概念.实际问题求最值的步骤.37思考题38思考题解答结论不成立.因为最值点不一定是内点.例在有最小值，但3
6、9练习题404142练习题答案43点击图片任意处播放暂停例3敌人乘汽车从河的北岸A处以1千米/分钟的速度向正北逃窜，同时我军摩托车从河的南岸B处向正东追击，速度为2千米/分钟．问我军摩托车何时射击最好（相距最近射击最好）？44解(1)建立敌我相距函数关系敌我相距函数得唯一驻点45例4某房地产公司有50套公寓要出租，当租金定为每月180元时，公寓会全部租出去．当租金每月增加10元时，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花费20元的整修维护费．试问房租定为多少可获得最大收入？解设房租为每月元，租出去的房子有套，每月
7、总收入为46（唯一驻点）故每月每套租金为350元时收入最高。最大收入为47点击图片任意处播放暂停例548解如图,49解得50
