《极值问题》PPT课件(I)

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1、6-9极值问题1.多元函数极值问题则称函数在点处有极大(小)值；----极值称点为极大(小)值点；----极值点定义设函数在区域内有定义，是的内点，若存在　　　的一个邻域，使得对该邻域内任一点，都有二元函数的极值图例有极小值有极大值定理1(极值的必要条件)若函数在点处达到极值,且存在,则必有证特别地有上式表明一元函数在取得极大值，由一元函数取得极值的必要条件，有同理可证各偏导数存在的极值点一定是稳定点.但稳定点不一定是极值点.满足方程组的点为的稳定点.定理２（极值存在的充分条件）令设函数在点的某个邻域内有连续二阶

2、偏导数，且根据代数知识，为简便起见，令则证根据泰勒公式有根据二阶偏导数连续的假定，因此一定不是极值．可能是，也可能不是极值．例3求函数解第一步求稳定点.得驻点:(1,0),(1,2),(–3,0),(–3,2).第二步判别.在点(1,0)处为极小值;解方程组的极值.求二阶偏导数在点(3,0)处不是极值;在点(3,2)处为极大值.在点(1,2)处不是极值;补例.讨论函数及是否取得极值.解显然(0,0)都是它们的驻点,在(0,0)点邻域内的取值,因此z(0,0)不是极值.因此为极小值.正负0在点(0,0)并且在(

3、0,0)都有可能为2.多元函数的最值问题若函数在闭区域D上连续时,它在D上有最大(小)值，最值一定是在极值点或边界上取得.在实际应用中，若根据问题的性质可知函数在区域D内部取到最值，而函数在D内又只有唯一的稳定点，则可判定函数在该稳定点即取得最值.问题的提出:已知一组实验数据求它们的近似函数关系y＝f(x).需要解决两个问题:1.确定近似函数的类型根据数据点的分布规律根据问题的实际背景2.确定近似函数的标准实验数据有误差,不能要求最小二乘法偏差有正有负,值都较小且便于计算,可由偏差平方和最小为使所有偏差的绝对来确

4、定近似函数f(x).最小二乘法原理:设有一列实验数据分布在某条曲线上,通过偏差平方和最小求该曲线的方法称为最小二乘法,找出的函数关系称为经验公式.,它们大体特别,当数据点分布近似一条直线时,问题为确定a,b令满足:使得解此线性方程组即得a,b称为法方程组使利用这个近似公式算出的值与实验所得值的误差平方和最小.例4（最小二乘法）已知变量是变量的函数，由实验测得当取得个不同的值时，对应的的值分别为.试据此作一个最佳线性近似公式：解问题转化为求二元函数的最小值.令即解此线性方程组即得a,b称为法方程组用归纳法可证方程组

5、的系数行列式于是得到最线性近似公式补例解设水箱长,宽分别为x,ym,则高为则水箱所用材料的面积为令得稳定点某厂要用铁板做一个体积为2根据实际问题可知最小值在定义域内应存在,的有盖长方体水问当长、宽、高各取怎样的尺寸时,才能使用料最省?因此可断定此唯稳定一点就是最小值点.即当长、宽均为高为时,水箱所用材料最省.3.条件极值极值问题无条件极值:条件极值:对自变量只有定义域限制对自变量除定义域限制外,还有其它条件限制例如求表面积为a2而体积为最大的长方体的体积问题.设长方体三棱的长为x,y,z，则体积为V=xyz，又因

6、表面积为a2，所以x,y,z必须满足附加条件2(xy+yz+xz)=a2.但我们可把条件极值化为无条件极值问题，即将z表成x,y的函数再把上式代入V=xyz中，则问题化为的无条件极值.条件极值的求法:方法1代入法.求一元函数的无条件极值问题例如,转化方法2拉格朗日乘数法.如方法1所述,则问题等价于一元函数可确定隐函数的极值问题,极值点必满足设记例如,故故有引入辅助函数辅助函数F称为拉格朗日(Lagrange)函数.利用拉格极值点必满足则极值点满足:朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法.为求在约束条件下的极值点,

7、其中是常数，称为拉格朗日乘数.作辅助函数：（拉格朗日函数）解方程组再判断此稳定点是否是条件极值点.设法消去　而得到　　　的解，它们就是条件极值的稳定点.推广拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束条件的情形.设解方程组可得到条件极值的可疑点.例如,求函数下的极值.在条件例求表面积为而体积为最大的长方体的体积.解设长方体的三棱长,则问题就是在条件下，求函数的最大值.作拉格朗日函数求其对的一阶偏导数，并使之为零，得到由以上两式得将上式代入(1)式，可得这是唯一可能的极值点.此时最大体积为例5解时，解方程组由方程组（

8、6.6）前三个方程得由此推得代入方程组（6.6）中第四个方程得由此求惟一稳定点前面已断定函数的最大值在球面内达到，故这惟一稳定点就是最大值点.最大值为