《极值问题》PPT课件

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1、函数的极值和极值点定义:在其中当时,(1)则称为的极大点,称为函数的极大值;(2)则称为的极小点,称为函数的极小值.极大点与极小点统称为极值点.4-5极值问题注意:为极大点为极小点不是极值点2)对常见函数,极值可能出现在导数为0或不存在的点.1)函数的极值是函数的局部性质.例如为极大点,是极大值是极小值为极小点,定理1（必要条件）证则证毕定理1也称费马定理.稳定点（临界点,驻点）使导数等于零的点,称为驻点,或稳定点.考察x=0是否是函数y=x3的稳　　　　　定点?是否是函数的极值点?定理表明:对于可导函数而言，极值点的必

2、要条件是函数在该点的导数为零，几何上，曲线上极值点所对应的点的切线平行于x轴.但反过来导数为零的点，不一定是极值点.为极大点为极小点不是极值点(极值第一判别法)且在空心邻域内有导数,(1)“左正右负”,(2)“左负右正”,(自证)点击图中任意处动画播放暂停若导函数在一稳定点之两側改变其符号，则该稳定点必为极值点。x1x2x3x4x5确定极值点和极值的步骤(1)求出导数f(x);(2)求出f(x)的全部稳定点和不可导点;(3)考察每个稳定点和不可导点,确定出函数的所有极值点和极值.例1.求函数的极值.解1)求导数2)求

3、极值可疑点令得令得3)列表判别是极大点，其极大值为是极小点，其极小值为定理2(充分条件)设函数在区间内有一阶导数，是它的一个稳定点,且　在　有二阶导数若则为极大值点.则为极小值点.证用局部泰勒公式证明应注意的问题：如果f(x0)0f(x0)0则定理2不能应用但不能由此说明f(x0)不是f(x)的极值.讨论：函数f(x)x4g(x)x3在点x0是否有极值？函数在稳定点处的前阶导数为零而阶导数不为零,则必不是极值点.推广补例.求函数的极值.解:1)求导数2)求驻点令得驻点3)判别因故为极小值;又故需用

4、第一判别法判别.例2研究的极值点.解1)求导数2)求稳定点令得稳定点：3)判别因根据定理2，闭区间上的连续函数其最大值和最小值只可能在区间的端点及区间内的极值点处取得.函数在闭区间[ab]上的最大值一定是函数的所有极大值和函数在区间端点的函数值中的最大者;其最小值一定是函数的所有极小值和函数在区间端点的函数值中的最小者极值与最值的关系x1x2x3x4x5Mm最大值和最小值的求法(1)求出函数f(x)在(ab)内的驻点和不可导点设这此点为x1x2xn;(2)计算函数值f(a)f(x1)f(x

5、n)f(b);(3)判断:最大者是函数f(x)在[ab]上的最大值最小者是函数f(x)在[ab]上的最小值x1x2x3x4x5Mm特殊情况下的最大值与最小值如果f(x)在一个区间(有限或无限开或闭)内可导且只有一个极值点x0那么当f(x0)是极大值时f(x0)就是f(x)在该区间上的最大值当f(x0)是极小值时f(x0)就是f(x)在该区间上的最小值特别:当在内只有一个极值可疑点时,当在上单调时,最值必在端点处达到.若在此点取极大值,则也是最大值.(小)对应用问题,有时可根据实际意义判别求出的可疑点

6、是否为最大值点或最小值点.(小)(k为某一常数)补例铁路上AB段的距离为100km,工厂C距A处20AC⊥AB,要在AB线上选定一点D向工厂修一条已知铁路与公路每公里货运价之比为3:5,为使货D点应如何选取?解设则令得又所以为唯一的极小点,故AD=15km时运费最省.总运费物从B运到工厂C的运费最省,从而为最小点,问Km,公路,20（目标函数）清楚(视角最大)?观察者的眼睛1.8m,例2.一张1.4m高的图片挂在墙上,它的底边高于解:设观察者与墙的距离为xm,则令得驻点根据问题的实际意义,观察者最佳站位存在,唯一,驻点

7、又因此观察者站在距离墙2.4m处看图最清楚.问观察者在距墙多远处看图才最例3（光的折射定律）设有甲、乙两种介质，其交界面为一平面.假设光自甲种介质中之A点发出经过两种介质的交界面而达到介质中的B点.从物理学上我们知道光所走的路径一定满足折射定律：oABpdbaxyCoABpdbaxyC解作垂直于两种介质交界面的、且包含A，B两点的平面，并在此平面上取定坐标系，使A点落在y轴上，而交界线与x轴重合.假定A至交界面的距离为a,而B至交界面的距离为bB在x轴上的垂足C至o的距离为d.现在，我们假定光在P(x,0)处进入乙种介质

8、，其入射角与反射角分别为与，这时光在甲种介质中所走的路程为而在乙种介质中所走的路程为这时光自A至B所需时间为（目标函数）由实际意义可知,所求最小值存在,稳定点只一个，则这恰好是折射定律的结论.注：对应用问题,根据实际意义，最大（小）值存在；且求的稳定点是惟一的，不用判别就可知稳定点就是最大（小）值点.稳定点的函数值就