资源描述：
《向量法解决空间立体几何---点存在性问题--教师版.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、.向量法解决空间立体几何---点存在性问题-教师版1、如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，∠ACB＝90°，AA1＝BC＝2AC＝2.(1)若D为AA1中点，求证：平面B1CD⊥平面B1C1D；(2)在AA1上是否存在一点D，使得二面角B1CDC1的大小为60°？解：(1)证明：如图所示，以点C为原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．则C(0,0,0)，A(1,0,0)，B1(0,2,2)，C1(0,0,2)，D(1,0,1)，即＝(0,2,0)，＝(－1,0,1)，＝(1,0,1)．由·＝(0,2,0)·(1,0,1)＝0＋0＋
2、0＝0，得⊥，即C1B1⊥CD.由·＝(－1,0,1)·(1,0,1)＝－1＋0＋1＝0，得⊥，即DC1⊥CD.又DC1∩C1B1＝C1，∴CD⊥平面B1C1D.又CD⊂平面B1CD，∴平面B1CD⊥平面B1C1D.(2)存在．当AD＝AA1时，二面角B1CDC1的大小为60°.理由如下：设AD＝a，则D点坐标为(1,0，a)，＝(1,0，a)，＝(0,2,2)，设平面B1CD的法向量为m＝(x，y，z)，则⇒令z＝－1，得m＝(a,1，－1)．又∵＝(0,2,0)为平面C1CD的一个法向量，则cos60°＝＝＝，解得a＝(负值舍去)，故AD＝＝AA1.∴在AA1上存
3、在一点D满足题意．Word资料.2．如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形，平面ABC⊥平面AA1C1C，AB＝3，BC＝5.(1)求证：AA1⊥平面ABC；(2)求二面角A1BC1B1的余弦值；(3)证明：在线段BC1上存在点D，使得AD⊥A1B，并求的值．解：(1)证明：因为四边形AA1C1C为正方形，所以AA1⊥AC.因为平面ABC⊥平面AA1C1C，且AA1垂直于这两个平面的交线AC，所以AA1⊥平面ABC.(2)由(1)知AA1⊥AC，AA1⊥AB.由题知AB＝3，BC＝5，AC＝4，所以AB⊥AC.如图，以A为原点建立空间直角坐
4、标系Axyz，则B(0,3,0)，A1(0,0,4)，B1(0,3,4)，C1(4,0,4)，＝(0,3，－4)，＝(4,0,0)．设平面A1BC1的法向量为n＝(x，y，z)，则即令z＝3，则x＝0，y＝4，所以n＝(0,4,3)．同理可得，平面B1BC1的一个法向量为m＝(3,4,0)．所以cos〈n，m〉＝＝Word资料..由题知二面角A1BC1B1为锐角，所以二面角A1BC1B1的余弦值为.(3)证明：设D(x，y，z)是直线BC1上一点，且＝λ.所以(x，y－3，z)＝λ(4，－3,4)．解得x＝4λ，y＝3－3λ，z＝4λ.所以＝(4λ，3－3λ，4λ)．
5、由·＝0，即9－25λ＝0，解得λ＝.因为∈[0,1]，所以在线段BC1上存在点D，使得AD⊥A1B.此时，＝λ＝.3、如图，在四棱锥PABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA＝PD＝，PA⊥PD，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AB＝BC＝1，O为AD中点．(1)求直线PB与平面POC所成角的余弦值；(2)求B点到平面PCD的距离；(3)线段PD上是否存在一点Q，使得二面角QACD的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．Word资料.解：(1)在△PAD中，PA＝PD，O为AD中点，所以PO⊥AD.又侧面PAD⊥底面ABCD，平
6、面PAD∩平面ABCD＝AD，PO⊂平面PAD，所以PO⊥平面ABCD.又在直角梯形ABCD中，连接OC，易得OC⊥AD，所以以O为坐标原点，OC，OD，OP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则P(0,0,1)，A(0，－1,0)，B(1，－1,0)，C(1,0,0)，D(0,1,0)，∴＝(1，－1，－1)，易证OA⊥平面POC，∴＝(0，－1,0)是平面POC的法向量，cos〈，〉＝＝.∴直线PB与平面POC所成角的余弦值为.(2)＝(0,1，－1)，＝(－1,0,1)．设平面PDC的一个法向量为u＝(x，y，z)，则取z＝1，得u＝(1,1,1)．∴
7、B点到平面PCD的距离为d＝＝.(3)假设存在一点Q，则设＝λ(0<λ<1)．∵＝(0,1，－1)，∴＝(0，λ，－λ)＝－，∴＝(0，λ，1－λ)，∴Q(0，λ，1－λ)．设平面CAQ的一个法向量为m＝(x，y，z)，又＝(1,1,0)，AQ＝(0，λ＋1,1－λ)，则取z＝λ＋1，得m＝(1－λ，λ－1，λ＋1)，又平面CAD的一个法向量为n＝(0,0,1)，二面角QACD的余弦值为，所以
8、cos〈m，n〉
9、＝＝，得3λ2－10λ＋3＝0，解得λ＝或λ＝3(舍)，所以存在点Q，且＝.4、如图1，A，D分别是矩形A1BCD1上的点，AB＝2AA1＝
