蒲丰(Buffon)投针随机试验的讨论 (修改稿).doc

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1、蒲丰(Buffon)投针随机试验的讨论(修改稿)　　（xx－3－7修改,9-18再修改）例（蒲丰（Buffon）投针随机试验的讨论）在平面上画有相互距离均为2a的平行线束，向平面上随机投一枚长为2l的针，为了避免针与两平行线同时相交的复杂情况，假定a?l?0,设M为针的中点，y为M与最近平行线的距离，φ为针与平行线的交角（如图1）0?y?a，0????.于是，很明显，针与平行线相交的充要条件是y?lsin?（如图2），故相交的概率为p?lsin?1?1?2l　　(1)d?dy?lsin?d???0?

2、a?0?a?0?a我们用n表示投针次数，Sn表示针与平行线相交次数，由大数定理知，当n充分大时，频率接近于概率，即Sn2l?n?a于是有??2nlaSn　　（2）这就是上面所说的用随机试验求?值的基本公式。　　根据公式　　（2），19—20世纪，曾有不少学者做了随机投针试验，并得到了?的估计值.其中最详细的有如下两个试验者Wolf　　(1853)a45l362.5投针次数N50003408相交次数?25321808?的估计值3.15963.1415929Lazzarini　　(1911)3其中?的估

3、计值就是利用?的近似公式　　（8）得到的，即????2?36?50002000??3.1596（Wolf）45?25326332?2.5?3408355（Lazzarini）??3.14159293?18081131一般情况下，随机抽样试验的精度是不高的，Wolf的试验结果是?≈3.1596，只准确两位有效数字.精度是由方差D??Sn?p(1?p)决定的，为了确定概率p，不妨取l=a这一极限情??n?n??Sn?0.2313，由积分极限定理，??nn??1-x22况，这时p?2?=0.6366，D?

4、?Sn??p??1?n?limP?????n??2??p(1?p)???n????e??dx即频率Sn/n近似地服从正态分布律N?p,p(p?1)/n?.如果要求以大于95%的概率（??1.96），保证以频率Sn/n作为p的近似值精确到三位有效数字，??即Sn?p?0.001n0.001?Sn?P??p?0,001??n????则必须有12?p(1?p)/n?0.001p(1?p)n?e1?x22dx?0.950.001???1.96p(1?p)/n根据上式，要求试验次数n?1.96?0.231/0

5、.001?88.7万次.至于Lazzarini的试验，为什么实验次数少反而精确度却很高呢？这是由于这一试验结果恰好和祖冲之密率355/113相合，而祖冲之密率为无理数?的连分式，属于?的最佳有理逼近.很明显，作为一种具有随机性质的试验，其结果恰好与最佳有理逼近的结果一致是非常偶然的；顾及到上述讨论，故Lazzarini的试验结果是不大可能的.注以上的讨论是第6章“假设检验”方法的一个有实际意义的例子。　　222。　　　　内容仅供参考