《2004-2005初等数论试卷a卷答案》.doc

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1、2004～2005学年第二学期科目:初等数论考试（查）试题A答案命题教师：李伟勋使用班级：02数本1，2，3班一．1．282．1473．4．0.95840…5．726．3937．－18．9．10．二．11．A12．D13．D14．C15．D16．A17．D18．B19．D20．C三．1．解：由于，而，所以原方程有解1分原方程等价于，又因为，故有，特解为3分所有解为5分2．解：1分∴原同余式组等价于，由孙子定理，得2分所以5分3．解：3为平方非剩余，由互反律，得，1分3分由孙子定理，得，即5分第6页共6页4．解：，且，3分故原同余式有解，解数为5分5．解：，，故13有4个

2、原根2分令，经过验算得13的一个最小原根为2，2分又∵1，5，7，11与12互素，∴13的全部原根为5分6．解：由于4是16的约数，从上表可知，1分所以同余式有解，解数为4原同余式与同解2分解得，3分反查指标表，得解5分四．1．证明：令表示不超过a的最高次幂，即，1分则的分母必为，为奇数2分3分此时除外均为偶数，故分子和为奇数，而分母和为偶数，故非整数。6分2．证明：设2分∴4分∵，∴5分取6分整理，得到，因此8分第6页共6页3．证明：8分5．证明：是可乘函数，由可乘定理即得2分5分因为，故得8分第6页共6页2004～2005学年第二学期科目:初等数论考试（查）试题B答

3、案命题教师：李伟勋使用班级：02数本1，2，3班一．1．72．1473．4．P为素数5．966．3937．18．g与中的单数9．10．二．11．D12.A13．A14．C15．B16．A17．C18．B19．D20．A三．1．解：由于，而，所以原方程有解1分又因为，故有，特解为3分所有解为5分2．解：1分∴原同余式组等价于，由孙子定理，得2分所以5分3．解：3为平方非剩余，由互反律，得，1分3分由孙子定理，得，即5分第6页共6页4．解：，且，3分故原同余式有解，解数为5分5．解：，，故11有4个原根2分令，经过验算得11的一个最小原根为2，2分又∵1，3，7，9与10互

4、素，∴13的全部原根为5分6．解：从上表可知，由于（12，16）＝4是4的约数，1分所以同余式有解，解数为4原同余式与同解2分解得，3分反查指标表，得解5分四．1．证明：(此题有多重解法)∵1分∴4分∴6分2．证明：（数学归纳法）设（1）时，，结论成立．（2）设时结论成立，即有，故有从而第6页共6页故时，成立。由（1）（2）得，3．证明：7分所以5．证明：（1），故（2）设若x1，x2分别通过模ｍ1，ｍ2简化剩余系，则ｍ2x1+ｍ1x2通过模ｍ1ｍ2简化剩余系，即ｍ2x1+ｍ1x2通过（ｍ1ｍ2）个整数。另一方面由于x1通过（ｍ1）个整数，因此ｍ2x1+ｍ1x2通过（ｍ

5、1）（ｍ2）个整数。故（ｍ1ｍ2）=（ｍ1）（ｍ2）。证完，第6页共6页