《数学分析》教案 微分概念.doc

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1、§5微分微分概念:由导数定义广（勺）=lim,/（y山）二/（"）.心toAx利用笫三章讲过的极限与无穷小量2河的关系，上式可写为△y=/（心+心）一/（心）=f'（Xo）Ax+o（Ax）即函数在X。处的改变量△），可表示成两部分：Ax的线性部分/z（x0）Ax与Ax的高阶无穷小部分o（Ax）c当A工充分小时，函数的改变量可由第«广（应））山例正方形血积的测问题。设正方形的实际边长为兀（），由于测量不可能绝对准确，设边长测量的最大误差为心，试问由于边长测量不准造成的面积误弟最多有多大？AA—（兀（）+Ax）~—兀（；=2x0Ax+（Ax）2即血积误差由两部分组成：第一

2、部分2x0Ai*是心的线性部分;第二部分（心尸是2的高阶无穷小，所以AAu2观心二微分定义Th（可微与可导的关系）.由微分的定义Ay«dy+fj（Ax）当Ar充分小时Ay«dyB

3、J/（x0+Aa）«/（x0）+fx^x这后一式屮的近似号若换成等号就是过（兀,/（儿））点的切线方程，所以这种近似计算的实质是“以直代曲”。用这种方法近似计算吋，要注意它的前提：山应充分小！这-点可以从图（d52）看得很清楚。三微分的几何意义例1求d（sin，3A：）和darctgx.二.微分运算法则：法则1一4只证2.一阶微分形式不变性.利用微分求导数.微商.例2y=x2In%2+c

4、os^,求dy和yf.例3y=/in3+b）,求dy和）几四微分的应用:1.建立近似公式：原理：Ay«dy,即fMu/(x0)+fxQ)(x-兀0)・特别当xo=O时，有近似公式/(x)«/(0)+具体的近似公式如:sinx«x,a/1+x«1+—x,ex«1+x等.n2.作近似计算：原理：/(x0+Aa)=/(x())+f)Aa-・例求sin29l的近似“阿5(，盒)5尹吟一盒)“485提问：这里能用度作单位近似计算吗？为什么?例求7097和V127的近似值.3.估计误差：绝对误差估计:

5、Ay

6、®

7、/r(x0)

8、

9、Ax

10、,相对误差估计：y=/(x)(>0),Iny

11、=In/(x),=>—-—=

12、^ln/(x)

13、.yy例2设已测得一根圆轴的直径为43C",并知在测量屮绝误差不超过0・2助・试求以此数据计算圆轴的横截血面积时所产生的误差.4求速度：原理:y=/(x),dy=fr(x)dx.牛二广(兀)学dtdt例7球半径/?以0.2cm/sec的速度匀速增大.求R=4cm时，球体积增大的速度.在初等数学屮“貞”就是"頁”，“曲”就是“曲”，二者是不会等同的，微分概念的建立冲破了初等数学的狭隘界限，在“直”和“Illi”Z问架起了一个桥梁。但是，并不是任何育线和曲线都可以无条件转化的。我们知道，任何一•条割线与曲线的联系祁是个别的，特

14、殊的，只有切线与曲线的联系才是一般的、本质的。微分学中正是利用切线的“育”去代替“曲”的，反映到数量上，就是用函数改变量的线性主要部分代替函数的改变景。恩格斯指出：“高等数学的主要基础Z—是这样一个矛盾：在一定条件下直线和1111线应当是一冋事”。“一定条件”那就是“细分”，细分的一定程度，它们Z间的茅是一个高阶无穷小，“直”和“曲”可以“等同”起来。但“直”和“曲”的等同是在相差一个高阶无穷小意义下的等同，是有菲别的等同，而不是无条件的等同，这正是“直”和“曲”等同这一辨证思想的核心。五.高阶微分:高阶微分的定义:d2y=d(dy)=d(广(x)c/x)=d(广(x

15、))・dx==fx)dx-dx=/7x)(Jx)2=fx)dx2.zi阶微分定义为n-阶微分的微分，即dHy=d(dn-}y)=--=f{n)(x)dxH.(注意区分符号dx2=(dx)d2x(=0),6/(x2)的意义.)例7y=/(w)=sinw,u=(p(x)=x2.求d?y.以例7为例，说明高阶微分不具有形式不变性：在例7中，倘若以y=sinu求二阶微分，然后代入i/=x2,就有d2y=(suy(du)2=-sinu(du)2=-sinx2(2xdx)2=-4x2sinx2dx2t,倘若先把w=x2代入y=si】m,再求二阶微分，得到d~y=d~s

16、inx~=(2cosx_-4xsx)dx~=2cosxdx~-4x~sinx~dx~.可见上述两种结果并不相等.这说明二阶微分已经不具有形式不变性.一般地，高阶微分不具有形式不变性.