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1、微分概念:山导数定义fW=limAvtO§5微分/（兀0+心）一/（兀0）Ax利用第三章讲过的极限与无穷小量之间的关系，上式可写为Ay=/（x0+Ax）-/（x0）=广（兀o）心+o（Ax）即函数在兀。处的改变最△），可表示成两部分:心的线性部分广（兀0）心与Ax的高阶无穷小部分o（Ax）。当心充分小时，函数的改变量可由第一部分近似代替=Axq广（兀°）心兀0Ax/r例正方形而积的测问题。设以x0鴛浪％%-0KX.XcJVcXcJtcXcXAxr正方形的实际边长为兀，由于测量%%・L不可能绝对准确，设边长测量的
2、最大才0旺・误差为心，试问由于边长测量不准4=龙X。旺•■无o造成的而积误差最多有多大？X。旺•△4=(x0+Ax)2一X。旺.1J=2x()Ax+(Ax)2即面积误差由两部分组成：第一部分2x0Ar是2的线性部分；笫二部分（心尸是心的高阶无穷小，所以M2x（）Ax二微分定义Th（可微与可导的关系）.dtl微分的定义+o(山)当2充分小时Ay«dy即f(x{)+Ar)«/(x0)+/x0)Ax这后一式中的近似号若换成等号就是过(兀。,/(兀。))点的切线方程，所以这种近似计算的实质是“以宜代曲”。用这种方法近
3、似计算时，要注意它的前提：2应充分小！这一点可以从图(d52)看得很清楚。三微分的几何意义例1求d(sin?3兀)和darctgx.二.微分运算法则：法则1一4只证2.一阶微分形式不变性.利用微分求导数.微商.例2y=x2In%2+cos%,求dy和例3〉，=0皿伽")，求心和)/.四微分的应用：1.建立近似公式：原理：Ay«dy,即fMQ/(兀0)+广(兀o)(兀-兀o)・特别当x.=Q时，有近似公式/(x)«/(O)+/z(O)x.具体的近似公式如：sinx«x,Vl+x«1+丄x：ex«l+x等.n2.作
4、近似计算：原理：/(x0+Ax)=/(x0)+/,(x0)Ax-例求sin29°的近似sin29°=sin(———)=sin—-t-cos—(一-)«0.485618066180提问：这里能用度作单位近似计算吗？为什么？例求V(X97和炳■的近似值.3.估计误差：绝对误差估计:
5、Ay
6、«
7、/r(x0)
8、
9、Ax
10、,相对误差估计：y=f(x)(>0),ln^=ln/(x),=>型ad=
11、dln/(x)
12、.yy例2设已测得一根闘轴的直径为43肋，并知在测量中绝误差不超过0.2cm.试求以此数据计算圆轴的横截而而积时所
13、产牛的误差.4求速度：原理：y=/(x),dy=fx)dx,字二广(兀)半.dtdt例7球半径/?以0.2cm/sec的速度匀速增人.求R=4cm时，球体积增人的速度.在初等数学中“宜”就是“肓”,“曲”就是“曲”，二者是不会等同的，微分概念的建立冲破了初等数学的狭隘界限，在“直”和“曲”Z间架起了一个桥梁。但是，并不是任何直线和曲线都可以无条件转化的。我们知道，任何一•条割线与曲线的联系都是个别的，特殊的，只有切线与曲线的联系才是一般的、本质的。微分学中正是利用切线的“直”去代替“曲”的，反映到数Sh,就是
14、用函数改变量的线性主要部分代替函数的改变呆。恩格斯指岀：“高等数学的主要基础之一是这样一个矛盾：在一定条件下直线和曲线应当是一回事”。“一定条件”那就是“细分”，细分的一定程度，它们之间的差是一个高阶无穷小，“直”和“曲”町以“等同”起来。但“直”和“曲”的等同是在和差一个高阶无穷小意义下的等同，是有差别的等同，而不是无条件的等同，这正是“直”和“Illi”等同这一辨证思想的核心。五.高阶微分：高阶微分的定义：cl1y=d(dy)=cl｛广⑴dx)=〃(广(兀))皿==fx)dx-dx=fx)(dx)2=f
15、x)dx2.n阶微分定义为n-1阶微分的微分，即d"y=d(d"」y)=…=/(")(兀)dx“・(注意区分符号dx2=(dx)d2x(=0),d(/)的意义)例7y=f(u)=sinw,u=(p(x)=x~.求dy.以例7为例，说明高阶微分不具冇形式不变性：在例7中，倘若以y=sinu求二阶微分，然后代入u=x2,就有d2y=(sinw)*(^w)2=-sinw(Jw)2=-sinx2(2xdx)2=-4x2sinx2dr2;倘若先把u=x2代入,y=sinw,再求二阶微分，得到d2y=d2sin^2=(
16、2cosx2-4,r2sinj2)t/x2=2cosx2dx2-4x2sinx2dx2.可见上述两种结果并不相等.这说明二阶微分己经不具有形式不变性.一般地，高阶微分不具有形式不变性.
