2014年高考数学理科（高考真题+模拟新题）分类汇编：选修4系列.doc

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1、数学N单元选修4系列N1选修4-1几何证明选讲15．[2014·广东卷](几何证明选讲选做题)如图11所示，在平行四边形ABCD中，点E在AB上且EB＝2AE，AC与DE交于点F，则＝________．图1115．3　[解析]本题考查相似三角形的性质定理，周长比等于相似比．∵EB＝2AE，∴AE＝AB＝CD.又∵四边形ABCD是平行四边形，∴△AEF～△CDF，∴＝＝3.21．[2014·江苏卷]A．[选修41：几何证明选讲]如图17所示，AB是圆O的直径，C，D是圆O上位于AB异侧的两点．证明：∠OCB＝∠D.图17证明：因为B，C是圆O上的两点，所以OB＝O

2、C，所以∠OCB＝∠B.又因为C，D是圆O上位于AB异侧的两点，所以∠B，∠D为同弧所对的两个圆周角，所以∠B＝∠D，因此∠OCB＝∠D.[2014·江苏卷]B．[选修42：矩阵与变换]已知矩阵A＝，B＝，向量α＝，x，y为实数．若＝，求x＋y的值．解：由已知得，＝＝)，Bα＝　)))＝)．因为＝，所以)＝)．故解得所以x＋y＝.22．[2014·辽宁卷]选修41：几何证明选讲图16如图16，EP交圆于E，C两点，PD切圆于D，G为CE上一点且PG＝PD，连接DG并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足为F.(1)求证：AB为圆的直径；(2)若AC＝BD，求证：

3、AB＝ED.22．证明：(1)因为PD＝PG，所以∠PDG＝∠PGD.由于PD为切线，故∠PDA＝∠DBA.又由于∠PGD＝∠EGA，故∠DBA＝∠EGA，所以∠DBA＋∠BAD＝∠EGA＋∠BAD，从而∠BDA＝∠PFA.因为AF⊥EP，所以∠PFA＝90°，所以∠BDA＝90°，故AB为圆的直径．(2)连接BC，DC.由于AB是直径，故∠BDA＝∠ACB＝90°.在Rt△BDA与Rt△ACB中，AB＝BA，AC＝BD，从而Rt△BDA≌Rt△ACB，所以∠DAB＝∠CBA.又因为∠DCB＝∠DAB，所以∠DCB＝∠CBA，故DC∥AB.因为AB⊥EP，所以D

4、C⊥EP，∠DCE为直角．所以ED为直径．又由(1)知AB为圆的直径，所以ED＝AB.22．[2014·新课标全国卷Ⅱ]选修41：几何证明选讲如图15，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC＝2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E.证明：(1)BE＝EC；(2)AD·DE＝2PB2.图1522．证明：(1)连接AB，AC.由题设知PA＝PD，故∠PAD＝∠PDA.因为∠PDA＝∠DAC＋∠DCA，∠PAD＝∠BAD＋∠PAB，∠DCA＝∠PAB，所以∠DAC＝∠BAD，从而BE＝EC.因此BE＝EC.(2)由切割线定

5、理得PA2＝PB·PC.因为PA＝PD＝DC，所以DC＝2PB，BD＝PB.由相交弦定理得AD·DE＝BD·DC，所以AD·DE＝2PB2.22．[2014·全国新课标卷Ⅰ]选修4－1：几何证明选讲如图15，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB＝CE.图15(1)证明：∠D＝∠E；(2)设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB＝MC，证明：△ADE为等边三角形．22．证明：(1)由题设知A，B，C，D四点共圆，所以∠D＝∠CBE.由已知得∠CBE＝∠E，故∠D＝∠E.(2)设BC的中点为N，连接MN，则由MB＝MC知M

6、N⊥BC，故点O在直线MN上．又AD不是⊙O的直径，M为AD的中点，故OM⊥AD，即MN⊥AD，所以AD∥BC，故∠A＝∠CBE.又∠CBE＝∠E，故∠A＝∠E.由(1)知，∠D＝∠E，所以△ADE为等边三角形．15．[2014·陕西卷]B.(几何证明选做题)如图13所示，△ABC中，BC＝6，以BC为直径的半圆分别交AB，AC于点E，F，若AC＝2AE，则EF＝________．图1315．　3　[解析]由题目中所给图形的位置关系，可知∠AEF＝∠ACB，又∠A＝∠A，所以△AEF∽△ACB，所以＝.又AC＝2AE，BC＝6，所以EF＝3.7．[2014·天津

7、卷]如图11所示，△ABC是圆的内接三角形，∠BAC的平分线交圆于点D，交BC于点E，过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F.在上述条件下，给出下列四个结论：①BD平分∠CBF；②FB2＝FD·FA；③AE·CE＝BE·DE；④AF·BD＝AB·BF.则所有正确结论的序号是(　　)A．①②B．③④C．①②③D．①②④7．D　[解析]∵∠DBC＝∠DAC，∠DBF＝∠DAB，且∠DAC＝∠DAB，∴∠DBC＝∠DBF，∴BD平分∠CBF，∴△ABF∽△BDF，∴＝＝，∴AB·BF＝AF·BD，BF2＝AF·DF.故①②④正确．由相交弦定理得AE·DE＝BE·CE，

8、故③错误．N2选修4-2