误差理论与测量平差第二章PPT.ppt

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1、§2误差分布与精度指标§2.1随机变量的数字特征一、数学期望是描述随机变量的数字特征之一.在处理带有偶然误差的观测值时，是用数学期望表示其真值的,在以后的公式推导中经常要用到它，因此，首先介绍数学期望的定义和运算公式。其定义是：这里是随机变量的密度函数若已知随机变量的数学期望求其函数的数学期望，称为数学期望的传播，计算公式如下：1.设C为一常数，则2.设C为一常数，X是一个随机变量，则3.设有随机变量X和Y，则4.设有随机变量X和Y相互独立，即，则8/25/20212第二章误差分布与精度指标推广之，如果有随机变量两两相互独立，则有:二、方差8/

2、25/20213第二章误差分布与精度指标1.设C为一常数，则2.设C为一常数，X是一个随机变量，则3.D(X)=E(X2)-[E(x)]24.设有随机变量X和Y相互独立，则推广之，如果有随机变量两两相互独立，则有:8/25/20214第二章误差分布与精度指标三、协方差协方差是用数学期望来定义的。设有观测值X和Y，它们的协方差定义是：（1-5-1）（1-5-2）式中：和分别是X和Y的真误差。设是观测值的真误差，是观测值的真误差，而协方差则是这两种真误差所有可能取值的乘积的理论平均值，即实用上n总是有限值，所以也只能求得它的估值，记为（1-5-3）8/

3、25/20215第二章误差分布与精度指标四、相关系数由式（1-5-1）得：当X和Y相互独立时：当X和Y相互独立时，X和Y的协方差为零。但是，逆命题却不一定成立，即协方差为零并不意味着X和Y相互独立。只有当X和Y服从联合正态分布时，协方差为零才是相互独立的充分条件。因此，对于服从正态分布的观测值，协方差为零和相互独立是等价条件。8/25/20216第二章误差分布与精度指标概率论中的正态分布是误差理论与测量平差基础中随机变量的基本分布。一、一维正态分布§2.2正态分布8/25/20217第二章误差分布与精度指标8/25/20218第二章误差分布与精度指

4、标§2-3偶然误差的规律性一、真值与真误差1.真值任何一个被观测量，客观上总是存在着一个能代表其真正大小的数值。这一数值就称为该观测量的真值。通常用表示真值。2.真误差设进行了n次观测，各观测值为L1、L2、…、Ln，真值为，每一个观测值的真值与观测值之间必存在一个差数，称为真误差，即：(1-3-1），，用向量表示：（1-3-2）8/25/20219第二章误差分布与精度指标§2-3偶然误差的规律性二、偶然误差的规律特性前面已经指出，就单个偶然误差而言，其大小或符号没有规律性，即呈现出一种偶然性（或随机性）。但就其总体而言，却呈现出一定的统计规律性。

5、并且指出它是服从正态分布的随机变量。人们从无数的测量实践中发现，在相同的观测条件下，大量偶然误差的分布也确实表现出了一定的统计规律性。下面用一个实例来说明。在相同的条件下，独立地观测了358个三角形的全部内角，由于观测值带有偶然误差，故三内角观测值之和不等于其真值180º。各个三角形内角和的真误差：将计算的真误差按大小和符号列于下表：8/25/202110第二章误差分布与精度指标§2-3偶然误差的规律性，，误差的区间″Δ为负值Δ为正值备注个数vi频率vi/n个数频率0.00-0.200.20-0.400.40-0.600.60-0.800.80-1

6、.001.00-1.201.20-1.401.40-1.601.60以上4540332317136400.1260.1120.0920.0640.0470.0360.0170.0110.0000.0630.5600.4600.3200.2350.1800.0850.0550.0004641332116135200.1280.1150.0920.0590.0450.0360.0140.0060.0000.0640.5750.4600.2950.2250.1800.0700.0300.000=0.02″等于区间左端值的误差算入该区间内。和1810.50

7、51770.4951.在一定的观测条件下，误差的绝对值有一定的限值，或者说，超出一定限值的误差，其出现的概率为零。2.绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的概率大。3.绝对值相等的正负误差出现的概率相同。4.偶然误差的数学期望为零，即：8/25/202111第二章误差分布与精度指标§2-3偶然误差的规律性二、偶然误差的表示方法表格法：见上页直方图：以横坐标表示误差的大小，纵坐标代表各区间内误差出现的频率除以区间的间隔值，每一误差区间上的长方条面积就代表误差出现在该区间内的频率。误差分布曲线：在n无限大时，如果把误差区间间隔无限缩小，左图中各长方条

8、顶边所形成的折线将变成右图所示的光滑曲线。这种曲线也就是误差的概率分布曲线，或称为误差分布曲线。8/25/202112第二