计算方法-2方程求根.ppt

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1、2学习要点方程求根的三个问题：根的存在性、根的分布、根的精确化；二分法：将有根区间二分，根据函数的符号变化逐步缩短有根区间；迭代法：将方程等价转化为另一种形式，并构造迭代公式；牛顿迭代法与割线法；32.1问题的提出函数方程f（x）=0若f(x)不是x的线性函数,则称为非线性方程,特别地若f(x)是n次多项式，则称为n次多项式方程或代数方程；若f(x)是超越函数，则称为超越方程。如果函数f（x）=（x-x*）mg(x)且g(x*)0,则称x*是(x)的m重零点或(x)=0的m重根。当m=1时，称x*是(x)的单根或单零点。4理论上已证明:对于次数n<=4的

2、多项式方程，它的根可以用公式表示;而次数大于5的多项式方程，它的根一般不能用解析表达式表示;因此对于f(x)=0的函数方程，只要得到满足精度要求的根的近似值就可以了。常用的求根方法分为区间法和迭代法两大类。5数值求根问题包括：根的存在性根的范围根的精确化6根的存在定理：假设函数y=f(x)，xa,b，且f(a)·f(b)<0，函数图象如图则至少存在一点xa,b使得f(x)=0，这就是根的存在定理。yxba7第一步：求根的隔离区间。确定根所在的区间，使方程在这个小区间内有且仅有一个根，这就是根的隔离过程。所得小区间称为方程的根的隔离区间或有根区间。第二

3、步：将根精确化。已知一个根的近似值后，再用一种方法将此近似值精确化，使其满足给定的精度要求。通常分两步来求根8三种方法来求根的隔离区间作图法方程等价变换法搜索法9例1的有根区间10例2求的有根区间112.2二分法二分法是求方程近似根的方法中，最直观、最简单的一种方法给定方程f(x)=0，设f(x)在区间[a,b]连续，严格单调，且f(a)·f(b)<0，则[a,b]为f(x)=0的一个有根区间。基本思想：用对分区间的方法根据分点处函数f(x)值的符号逐步将有根区间缩小，使在足够小的区间内，方程有且仅有一个根12记a0=a,b0=b。用中点x0=(a0+b0)/2

4、将区间[a0,b0]分成2个小区间：[a0,x0]和[x0,b0]；计算f(x0)，若f(x0)=0，则x0为f(x0)=0的根，计算结束。否则f(a0)f(x0)<0与f(x0)f(b0)<0两式中有且仅有一式成立。若f(a0)f(x0)<0，令a1=a0，b1=x0，若f(x0)f(b0)<0，令a1=x0，b1=b0；于是[a1,b1]为新的有根区间，[a0,b0][a1,b1]，且后者长度为前者的一半。具体方法：13对新的有根区间[a1,b1]施行同样的手续，于是得到一系列有根区间[a0,b0][a1,b1][a2,b2]……[ak,bk]其中每

5、一个区间的长度都是前一个区间长度的一半，最后一个区间的长度为bk-ak=（b-a）/2k如果取最后一个区间[ak,bk]的中点xk=(ak+bk)/2作为f(x)=0根的近似值，则有误差估计式

6、xk-x*

7、≤(bk-ak)/2=（b-a）/2k+114abb1a1x015例3用二分法求方程在区间[0,1]内的1个实根，要求有3位有效数字。16计算结果kak(f(ak)的符号)xk(f(xk)的符号)bk(f(bk)的符号)00(+)0.5(-)1(-)10(+)0.25(+)0.5(-)20.25(+)0.375(+)0.5(-)30.375(+)0.4375(

8、+)0.5(-)40.4375(+)0.46875(+)0.5(-)50.4375(+)0.453125(-)0.46875(+)60.4375(+)0.4453125(-)0.453125(-)70.4375(+)0.44140625(+)0.4453125(-)80.44140625(+)0.443359375(+)0.4453125(-)90.443359375(+)0.444335937(+)0.4453125(-)100.444335937(+)0.444824218(+)0.444335937(+)17二分法的优点与缺点优点：计算简单，方法可靠缺点：

9、不能求偶数重根；不能求复根；收敛速度慢182.3简单迭代法一迭代格式的构造及其敛散性条件：已知方程f(x)=0在区间[a,b]内有1个根x*。在区间[a,b]将其改写成同解方程x=φ(x)迭代函数迭代法是数值计算中的一种典型方法，不仅用于方程求根，而且用于方程组求解、矩阵求特征值等方面19取x0∈[a,b]，用递推公式xk+1=φ(xk)k=0,1,2,……可得到序列x0,x1,x2……。如果k→∞,序列{xk}有极限x*,且φ(x）在x*附近连续，则对上式两边取极限，得x*=φ(x*)因而x*是方程x=φ(x)的解，x*也是方程的根迭代格式迭代序列20例f（x

10、）=x2–2x-3=0它