小波变换在数字信号处理中的应用.ppt

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1、第1页一、从傅里叶变换到小波变换二、连续小波变换三、一维离散小波变换与重构四、二维离散小波变换与重构五、Matlab中的小波分析工具箱第2页小波分析是近15年来发展起来的一种新的时频分析方法，我们可以先粗略地区分一下时域分析和频域分析。时域分析的基本目标：-边缘检测和分割；-将短时的物理现象作为一个瞬态过程分析。频域分析的基本目标：区分突发信号和稳定信号以及定量分析其能量。一、从傅里叶变换到小波变换第3页一、从傅里叶变换到小波变换（1）傅立叶变换的定义1.连续傅立叶变换对离散傅立叶变换对第4页2.傅立叶变换的实质傅里叶变换的实质是：

2、把f(t)这个波形分解成许多不同频率的正弦波的叠加和。这样我们就可以将对原函数f(t)的研究转化为对其权系数，及傅里叶变换F(ω)的研究。从傅里叶变换中可以看出，这些标准基是由正弦波及高次谐波组成的，因此它在频域内是局部化的。第5页3.傅立叶变换的局限性由左图我们看不出任何频域的性质，但从右图中我们可以明显看出该信号的频率成分，也可以明显的看出信号的频率特性。虽然傅里叶变换能够将信号的时域特征和频域特征联系起来，能分别从信号的时域和频域观察，但不能把两者有机的结合起来。在实际信号处理过程中，尤其是对非平稳信号的处理中，信号在任一时刻

3、附近的频域特征都很重要。第6页（2）短时傅立叶变换基本思想：把非稳态信号看成一系列短时平稳信号的叠加，这个过程是通过加时间窗来实现的。一般选用能量集中在低频处的实的偶函数作为窗函数，通过平移窗函数来实现时间域的局部化性质。其表达式为：其中“＊”表示复共轭，g(t)是有紧支集的函数，f(t)是被分析的信号，在这个变换中，起着频限的作用，g(t)起着时限的作用。随着时间的变化，g(t)所确定的“时间窗”在t轴上移动，使f(t)“逐渐”进行分析。第7页g(t)往往被称之为窗口函数，大致反映了f(t)在时刻ω频率处“信号成分”的相对含量。这

4、样信号在窗函数上的展开就可以表示为在这一区域内的状态，并把这一区域称为窗口，和分别称为窗口的时宽和频宽，表示了时频分析中的分辨率，窗宽越小则分辨率就越高。很显然和都非常小，以便有更好的时频分析效果，但和相互制约的。（2）短时傅立叶变换第8页（3）小波变换小波分析优于傅里叶变换的地方是，它在时域和频域同时具有良好的局部化性质。小波变换提出了变化的时间窗。当需要精确的低频信息时，采用长的时间窗，频率分辨率高，当需要精确的高频信息时，采用短的时间窗，时间分辨率高。由此可知，小波变换采用的不是时间-频率域，而是时间－尺度域。尺度越大，采用越

5、大的时间窗，尺度越小，采用越短的时间窗，即尺度与频率成反比。第9页（3）小波变换第10页(4)小波的时间和频率特性运用小波基，可以提取信号中的“指定时间”和“指定频率”的变化。时间：提取信号中“指定时间”（时间A或时间B）的变化。顾名思义，小波在某时间发生的小的波动。频率：提取信号中时间A的比较慢速变化，称较低频率成分；而提取信号中时间B的比较快速变化，称较高频率成分。时间A时间B第11页(5)小波的3个特点小波变换，既具有频率分析的性质，又能表示发生的时间。有利于分析确定时间发生的现象。（傅里叶变换只具有频率分析的性质）小波变换的

6、多分辨度的变换，有利于各分辨度不同特征的提取（图象压缩，边缘抽取，噪声过滤等）小波变换比快速Fourier变换还要快一个数量级。信号长度为M时，Fourier变换（左）和小波变换（右）计算复杂性分别如下公式：第12页(6)小波基表示发生的时间和频率Fourier变换的基（上）小波变换基（中）和时间采样基（下）傅里叶变换(Fourier)基小波基时间采样基第13页二、连续小波变换设函数，如果满足：则称为一个基本小波和小波母函数，式中为函数的傅立叶变换，上式也可称为可容性条件。1.连续小波变换令：，称为基本小波或母小波(MotherWa

7、velet)依赖于生成的连续小波。式中为尺度因子，改变连续小波的形状；为位移因子，改变连续小波的位移。连续小波在时域空间和频域空间上都具有局部性，其作用等同于短时傅立叶变换中的窗函数。第14页二、连续小波变换因此函数f(t)的小波变换为：尺度因子小波平移参数式中为函数的复共轭，由可容性条件得：的逆变换为：式中：第15页像傅立叶分析一样，小波分析就是把一个信号分解为将母小波经过缩放和平移之后的一系列小波，因此小波是小波变换的基函数。小波变换可以理解为用经过缩放和平移的一系列小波函数代替傅立叶变换的正弦波和余弦波进行傅立叶变换的结果。

8、图4表示了正弦波和小波的区别，由此可以看出，正弦波从负无穷一直延续到正无穷，正弦波是平滑而且是可预测的，而小波是一类在有限区间内快速衰减到0的函数，其平均值为0，小波趋于不规则、不对称。二、连续小波变换第16页二、连续小波变换图4傅