具p(x)拉普拉斯和阻尼项的黏弹性双曲方程解的性质.pdf

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1、第18卷第1期北华大学学报(自然科学版)Vol．18No．12017年1月JOUＲNALOFBEIHUAUNIVEＲSITY(NaturalScience)Jan．2017文章编号:1009-4822(2017)01-0001-05DOI:10．11713/j．issn．1009-4822．2017．01．001具p(x)拉普拉斯和阻尼项的黏弹性双曲方程解的性质高云柱，侯琬茹，周媛，何龙(北华大学数学与统计学院，吉林吉林132013)摘要:研究了一类具p(x)-拉普拉斯和阻尼项的黏弹性双曲方程解的性质，利用Faedo-Galerki方法和嵌入理论，借助标准的常微分方程求解方

2、法，给出了初边值问题弱解的存在性结果．关键词:p(x)-拉普拉斯;阻尼;黏弹性;存在性中图分类号:O175．27文献标志码:A【引用格式】高云柱，侯琬茹，周媛，等．具p(x)拉普拉斯和阻尼项的黏弹性双曲方程解的性质［J］．北华大学学报(自然科学版)，2017，18(1):1-5．PropertiesofSolutionsforViscoelasticHyperbolicEquationwithp(x)-LaplaceandDampingGaoYunzhu，HouWanru，ZhouYuan，HeLong(SchoolofMathematicsandStatistics，Be

3、ihuaUniversity，Jilin132013，China)Abstract:Theauthorsstudyaclassofviscoelastichyperbolicequationwithp(x)-Laplaceanddamping．ByusingFaedo-Galerkin’smethodandembeddingtheory，withthehelpofthestandardtheoryoftheODEsystem，theexistenceresultsofweaksolutionsisgiventotheinitialandboundaryvalueproble

4、m．Keywords:p(x)-Laplace;damping;viscoelastic;existence1引言本文主要研究如下阻尼方程的非线性边值问题tìu－Δu－αΔu－Δu+g(t－τ)Δu(τ)dτ=up(x)－2u，(x，t)∈Q，ttttt∫Tïï0í(1)u(x，t)=0，(x，t)∈ST，ïïîu(x，0)=u0(0)，ut(x，0)=u1(x)，x∈Ω，其中QT=Ω×(0，T］，ST定义为QT的边界．指数p(x)在Ω上连续并具有对数模连续性，并作如下假设:－+1＜p=infp(x)≤p(x)≤p=supp(x)＜!，(2)x∈Ωx∈Ωz，ξ∈Ω，z－ξ

5、＜1，p(x)－p(ξ)≤ω(z－ξ)，(3)收稿日期:2016-08-23基金项目:国家自然科学基金数学天元青年基金项目(11526035)．作者简介:高云柱(1967－)，男，博士，教授，主要从事偏微分方程理论与应用研究，E-mail:yzgao_2008@163．com．2北华大学学报(自然科学版)第18卷其中1limsup(ω(τ)ln)=C＜+!．τ→0+τ也假设1(H1):瓗+→瓗+是C函数满足!g(0)＞0，1－∫g(s)ds=l＞0;0(H2)存在η＞0使得g'(t)＜－ηg(t)，t≥0．［1-4］问题(1)反映了大量的实际物理现象，如它能够用来描述电流变

6、液等数学模型．近年来，许多学者［5-6］对问题(1)解的性质做了大量研究，得到了许多好的结果．2主要结果首先我们给出下面的巴拿赫空间和一些引理．设p(x)p(x)L(Ω)={u(x):u可测于Ω，Ap(·)(u)=∫udx＜!}，Ωup(·)=inf{λ＞0，Ap(·)(u/λ)≤1}．［7］p(x)引理1对于u∈L(Ω)，下面结论成立:(ⅰ)up(·)＜1(=1;＞1)Ap(·)(u)＜1(=1;＞1);P+P－P+P－(ⅱ)up(·)＜1up(·)≤Ap(·)(u)≤up(·);up(·)＞1up(·)≥Ap(·)(u)≥up(·);(ⅲ)up(·)→0Ap(·

7、)(u)→0;up(·)→!Ap(·)(u)→!．［8］1，p(·)引理2对于u∈W0(Ω)，如果p满足条件(2)，则p(·)-Poincaré不等式up(x)≤C"up(x)成立，其中常数C依赖于p和Ω．注1下面不等式一般不成立:p(x)p(x)∫udx≤C∫"udx．ΩΩ［7］N引理3设Ω是瓗上一个开区域(可以无界)具有锥性质．如果p(x):珚Ω→瓗是Lipschitz连续函－+N数，满足1＜p≤p＜，r(x):珚Ω→瓗是可测的，满足k*Np(x)p(x)≤r(x)≤p(x)=，a．e．x∈珚Ω，N－kp(x