jin式代数.ppt

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1、近世代数（一）基本概念预备知识集合与映射代数运算运算律一一映射、变换集合集合：若干个固定事物的全体叫做一个集合.每个事物称为集合的元素.空集合：一个没有元素的集合叫做空集.集合的表示：文字描述:比如，平方等于2的有理数构成的集合特性描述：比如{x

2、关于x的一个命题P}枚举表示:{a1,a2,…,an}.这种描述允许某种省略，比如，{1,2,3,…}.注解：但有可能产生误解，不提倡！集合元素与集合的关系：“”或“”.集合与集合之间的关系：“=”、“”、“”、“”、“”.子集、真子集、全集集合的运算：“”、“”、“”映射映射:假如通过一个法则f，对于任意的

3、xX,有唯一的yY与其对应,则称f是X到Y的映射，记为f:XY.例：A={1,2,3,4,5},B={2,4,6,8},那么f：12，24，36，42，52是一个A到B的映射122436485AB映射满射若是在一个集合A到另一个集合B的映射之下，B的每一个元都至少是A中某一元素的象，那么叫做一个A到B的满射.若R()=Y，那么叫做一个A到B的满射.例：设A={1,2,3,4,…},B={奇,偶},那么：1,3,5,…奇；2,4,6,…偶是一个A到B的满射.12345奇6...偶...满射单射单射:一个A到另一个集合B的映射：ab叫做一个

4、A到另B的单射，假如a1a2b1b2若a1,a2A,a1a2(x1)(x2);单射122436489双射双射:假如一个集合A到集合B的映射既是单射又是满射，那么叫做A到B的双射双射12243648......n2n既不单又不满映射既不单又不满映射：假如一个集合A到集合B的映射既不是单射又不是满射，那么叫做A到B的既不单又不满的映射.122436485AB映射逆映射若f是X到Y的双射，则存在映射f-1满足f-1f=IX及ff-1=IY。f-1称为Y到X的逆映射，记为f-1:YX.设f是X到Y的单射，满足gf=IX的Y到X的映射g称为f的右逆映射

5、，f则称为右可逆映射.设f是X到Y的满射，满足fg=IY,的Y到X的映射g称为f的左逆映射，f则称为左可逆映射.如果f既有左逆映射又有左逆映射,则称f是可逆映射.例子设A={a,b,c},B={1,2,3,4}.f:AB定义为：f(a)=1,f(b)=2,f(c)=3.显然f是单射.g:BA定义为：g(1)=a,f(2)=b,f(3)=f(4)=c显然g是满射.因为gf(A)=A=IA,所以f右可逆且映射g是f的右逆映射.例子设A={1,2,3,4}，B={a,b,c}.f:AB定义为：f(1)=a,f(2)=b,f(3)=f(4)=c显然f是满射.g:BA定义

6、为g(a)=1,g(b)=2,g(c)=3.显然g是单射.因为fg(B)=B=IB,所以f左可逆且映射g是f的左逆映射.集合积集合积：设A1,A2,…,An是n个集合，由一切从A1,A2,…,An里顺序取出的元素组(a1,a2,…,an)构成的集合叫做A1,A2,…,An的积，记作A1A2…An集族：以集合作为元素的集合.幂集：集合X的所有子集构成的集合.映射的一般定义令A=A1A2…An,我们看集合积A与集合之间建立的映射.定义：假如通过一个法则，对于任意的(a1,a2,…,an)A，都有唯一一个D的元素d与其对应，那么这个法则叫做集合积A到集合D的

7、一个映射；D的元d叫做元(a1,a2,…,an)在之下的象；元(a1,a2,…,an)叫做元d在之下的一个原象例1A1=A2=…=An=D=所有实数作成的集合是一个A1A2…An到D的映射.注解：集合A1，A2，…，An，D中可能有几个是相同的例2A1={东，西},A2={南},D={高，低}..1:(西，南)高=1(西，南)1不是A1A2到D的映射.注解：映射一定要替每一个元(a1,a2,…,an)规定一个象d.例3A1={东，西},A2={南},D={高，低}..2:(西，南)高=2(西，南)(东，南)低=2(东，南)2是A1A2

8、到D的映射.注解：一般来讲，A1,A2的次序不能调换.例4A1=D=所有实数作成的集合：aa,如果a1ab,如果b2=1不是A1到D的映射.注解：一个元只能有唯一的一个象.例5A1=D=所有正整数作成的集合：aa-1不是A1到D的映射.注解：所有的象都必须是D的元.一般映射需要注意的几点集合A1，A2，…，An，D中可能有几个是相同的映射一定要替每一个元(a1,a2,…,an)规定一个象d.一般来讲，A1,A2的次序不能调换.一个元只能有唯一的一个象.所有的象都必须是D的元.映射相同定义：我们说A1A2…An到D的