一类带Michaelis-Menten收获项的捕食者-食饵模型的Turing不稳定性.pdf

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1、第３１卷第１期兰州文理学院学报（自然科学版）Ｖｏｌ．３１Ｎｏ．１２０１７年１月ＪｏｕｒｎａｌｏｆＬａｎｚｈｏｕＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＡｒｔｓａｎｄＳｃｉｅｎｃｅ（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅｓ）Ｊａｎ．２０１７文章编号：２０９５－６９９１（２０１７）０１－０００７－００４一类带Ｍｉｃｈａｅｌｉｓ－Ｍｅｎｔｅｎ收获项的捕食者－食饵模型的Ｔｕｒｉｎｇ不稳定性寇玉彦（西北师范大学数学与统计学院，甘肃兰州７３００７０）摘要：讨论一类Ｍｉｃｈａｅｌｉｓ－Ｍｅｎｔｅｎ收获项的捕食者－食饵模型在正常数平衡点处的稳定性，结果表明一般的自扩散不会导致Ｔｕｒｉ

2、ｎｇ不稳定现象发生，但是当交错扩散系数满足适当的条件时会发生Ｔｕｒｉｎｇ不稳定现象．关键词：捕食者－食饵模型；交错扩散；Ｔｕｒｉｎｇ不稳定性中图分类号：Ｏ１７５．２６文献标志码：ＡDOI:10.13804/j.cnki.2095-6991.2017.01.003因此需考虑如下反应扩散模型：0引言ｄｕ烄－ｄ１Δｕ＝ｕ（１－ｕ）－ｕｖ，ｄｔ文献［１］讨论了带Ｍｉｃｈａｅｌｉｓ－Ｍｅｎｔｅｎ收获项的捕食者－食饵模型ｘ∈Ω，ｔ＞０，ｄｕｕｄｖ－ｄ２Δｖ＝ｖδ－βｖ－αｖ，烄＝ｒ１ｕ（１－）－ａｕｖ，ｄｔ（ｕ）ｒ＋ｖｄｔＫ（１）烅（３）烅ｘ∈Ω，ｔ＞０

3、，ｄｖｖｑＥｖ，＝ｒ２ｖ（１－）－烆ｄｔｂｕｃＥ＋ｌｖｕｖ＝＝０，ｘ∈Ω，ｔ＞０，其中：ｕ，ｖ分别表示食饵和捕食者的种群密度；ｖυｕ（ｘ，０）＝ｕ０（ｘ），ｖ（ｘ，０）＝ｖ０（ｘ），ｒ１，Ｋ分别表示食饵种群的內禀增长率和最大环境容纳量；ａ，ｒ２分别表示捕食者的捕食率和內禀烆ｘ∈Ω，其中：ΩＲｎ是边界光滑的有界区域；ｖ是边界增长率；ｂｕ表示捕食者依赖食饵的环境容纳量；Ω上的单位外法向量；正常数ｄ１，ｄ２是自扩散系ｑＥｖ是对捕食者的捕获函数；参数ｒ１，ｒ２，Ｋ，ｃＥ＋ｌｖ数，表示种群从自身高密度区域向低密度区域扩ａ，ｂ，ｑ，ｃ，ｌ，

4、Ｅ均为正常数．式（１）经约化得如下模散；初值ｕ０（ｘ），ｖ０（ｘ）是非负不恒为零的光滑函型：数．种群间的增长规律往往不仅依赖于时间和空ｄｕ烄＝ｕ（１－ｕ）－ｕｖ，ｄｔ间因素，还依赖于种群之间的作用，因此，对模型（２）烅（３）中捕食者引入ＳＫＴ型交错扩散项［２］，即考虑ｄｖβｖαｖ＝ｖ（δ－）－．烆ｄｔｕｒ＋ｖ如下交错扩散模型：其中：δ＝ｒ２，ｒ２，α＝ａｑＥ，ｒ＝ａｃＥ，以上参烄ｄｕβ＝２ｌｒ－ｄ１Δｕ＝ｕ（１－ｕ）－ｕｖ，ｒ１ａｂＫｌｒ１１ｄｔ数均为正常数．文献［１］的结果表明：当α＝ｒδ且ｘ∈Ω，ｔ＞０，ｒ＜δ时，模型（２）有唯一的正常数

5、平衡点Ｅ＝ｄｖβｖ－ｄ２Δ［（１＋ｄ３ｕ）ｖ］＝ｖδ－－βｄｔ（ｕ）（ｕ＊，ｖ＊），其中ｕ＊＝βｒ＋β，ｖ＊＝δ－βｒ，并且烅αｖ，ｘ∈Ω，ｔ＞０，（４）δ＋βδ＋βｒ＋ｖ模型（２）在Ｅ处是局部渐近稳定的，因此下文总ｕｖ＝＝０，ｘ∈Ω，ｔ＞０，假设α＝ｒδ成立．由于该文只研究了当捕食者和ｖυ食饵的生活环境空间分布均匀时捕食对种群密度ｕ（ｘ，０）＝ｕ０（ｘ），ｖ（ｘ，０）＝ｖ０（ｘ），的改变，而没有考虑空间变化对种群密度的影响，烆ｘ∈Ω，收稿日期：２０１６－１１－０９作者简介：寇玉彦（１９９０－），女，甘肃白银人，在读硕士，研究方向为

6、偏微分方程及其应用．Ｅ－ｍａｉｌ：ｋｏｕｙｕｙａｎｙｙ＠１６３．ｃｏｍ．８兰州文理学院学报（自然科学版）第３１卷其中正常数ｄ３是交错扩散系数，表示捕食者向食ａ２１＞０，ａ２２＜０，进而Ａｉ＞０，Ｂｉ＞０，易知ｆｉ（λ）饵密度减少的方向流动．＝０的两个根均有负实部．本文主要讨论模型（３），（４）在正常数平衡点设λ＝μｉξ，则２２Ｅ处的稳定性，给出模型（４）产生Ｔｕｒｉｎｇ不稳定ｆｉ（λ）＝μｉξ＋Ａｉμｉξ＋Ｂｉ～ｆ珚ｉ（ξ）．现象的条件．由于当ｉ→∞时，μｉ→∞，所以ｆ珚（）ｉξ２1半线性反应扩散模型的稳定性ｌｉｍ２＝ξ＋ｉ→∞μｉ（ｄ）ｆ珚

7、（），δ１＋ｄ２ξ＋ｄ１ｄ２～ξ定理１若条件ｒ＜成立，则模型（３）在Ｅβ易知，方程ｆ珚（ξ）＝０的两个根ξ１，ξ２均有负实部．处局部渐近稳定．则存在正常数δ珔使得Ｒｅ｛ξ１｝，Ｒｅ｛ξ２｝≤－δ珔，由连证明模型（３）在Ｅ＝（ｕ＊，ｖ＊）处的扰动，当ｉ≥ｉ（）＝０续性知，存在ｉ０∈Ｎ０时，方程ｆ珚ｉξ为δ珔的两根ξｉ，１，ξｉ，２满足Ｒｅ｛ξｉ，１｝，Ｒｅ｛ξｉ，２｝≤－，故ｕ珘＝ｕ－ｕ＊，ｖ珘＝ｖ－ｖ＊．２有则模型（３）在Ｅ处的线性化系统为δ珔μｉδ珔ｗｔ＝Ｌ１ｗ．Ｒｅ｛ξμｉ０，ｉ≥ｉｉ，１｝，Ｒｅ｛ξｉ，２｝≤－≤－０．２２其中令ｕ珘ｗ＝

8、，Ｌ１＝Ｄ１Δ＋Ｊ（Ｅ），δ珔＝－ｍａｘ｛Ｒｅ｛｝，Ｒｅ｛｝｝，（）ｖ珘ξｉ，１ξｉ，２１≤ｉ≤ｉ０ａ１１ａ１２μｉδ珔烄烌，则δ珔＞０；取δ＝ｍｉｎδ珘，０，则Ｄ