2020届高考数学大二轮复习层级二专题六概率与统计第3讲概率、随机变量及其分布教学案（理）.docx

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1、(理)第3讲　概率、随机变量及其分布[考情考向·高考导航]1．考查古典概型、互斥事件、相互独立事件、独立重复试验等内容，主要以选择题、填空题的形式出现，多为容易或中等难度题．2．对离散型随机变量的分布列及期望的考查是重点中的“热点”，重点考查独立事件的概率，超几何分布和二项分布的期望等．以解答题的形式出现，难度中档或偏下．[真题体验]1．(2017·全国Ⅰ卷)如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是(　

2、　)A.　　　　　　　　　　B.C.D.解析：B　[不妨设正方形边长为a.由图形的对称性可知，太极图中黑白部分面积相等，即所各占圆面积的一半．由几何概型概率的计算公式得，所求概率为＝，选B.]2．(2018·全国Ⅲ卷)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立．设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，DX＝2.4，P(X＝4)

3、p)4.即，∴p＝0.6.]3．(2019·天津卷)设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为，假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立．(1)用X表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量X的分布列和数学期望；(2)设M为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件M发生的概率．解：(1)因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7：30之前到校的概率均为，故X～B，从而P(X＝k)＝Ck3－k

4、，(k＝0,1,2,3.)所以，随机变量X的分布列为X0123P随机变量X的数学期望E(X)＝3×＝2.(2)设乙同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数为Y，则Y～B，且M＝{X＝3，Y＝1}∪{X＝2，Y＝0}．由题意知事件{X＝3，Y＝1}与{X＝2，Y＝0}互斥，且事件{X＝3}与{Y＝1}，事件{X＝2}与{Y＝0}均相互独立，从而由(Ⅰ)知P(M)＝P({X＝3，Y＝1}∪{X＝2，Y＝0})＝P(X＝3，Y＝1)＋P(X＝2，Y＝0)＝P(X＝3)P(Y＝1)＋P(X＝2)P(Y＝0)＝×＋×＝.[主干整

5、合]1．概率模型公式及相关结论(1)古典概型的概率公式．P(A)＝＝.(2)几何概型的概率公式．P(A)＝.(3)相互独立事件同时发生的概率：若A，B相互独立，则P(AB)＝P(A)·P(B)．(4)若事件A，B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，P()＝1－P(A)．2．独立重复试验与二项分布如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么它在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率为Pn(k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.用X表示事件A在n次独立重复试验中发生的次数，则X服从二项分布，即X～B(n，p

6、)且P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k.3．超几何分布在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝k)＝，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，此时称随机变量X服从超几何分布．超几何分布的模型是不放回抽样，超几何分布中的参数是M，N，n.4．离散型随机变量的均值、方差(1)离散型随机变量ξ的分布列为ξx1x2x3…xi…nPp1p2p3…pi…pn离散型随机变量ξ的分布列具有两个性质；①pi≥0；②p1＋p2＋…＋pi＋…＋pn＝1(i＝1,2,3，

7、…，n)．(2)E(ξ)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量ξ的数学期望或均值．D(ξ)＝(x1－E(ξ))2·p1＋(x2－E(ξ))2·p2＋…＋(xi－E(ξ))2·pi＋…＋(xn－E(ξ))2·pn叫做随机变量ξ的方差．(3)数学期望、方差的性质．①E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b，D(aξ＋b)＝a2D(ξ)．②X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．③X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)．热点一　古典概型、几何概型[例1]　(1)(2019·全国Ⅰ

8、卷)我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“－－”，右图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是(　　)A.　　　　　　　　　　B.C.D.[解析]　A　[在所有重卦中随机取一重卦，其基本事件总数n＝26＝64，恰有3个阳