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1、二无界函数反常积分的审敛法备课讲稿 YANGZHOUUNIVERSITY 二、无界函数反常积分的审敛法第五节反常积分无穷限的反常积分无界函数的反常积分 一、无穷限反常积分的审敛法机动目录上页下页返回结束反常积分的审敛法?函数第五章YANGZHOUUNIVERSITY 一、无穷限反常积分的审敛法定理1.,0)(,),[)(????xfaCxf且设若函数??xattfxFd)()(.d)(收敛则反常积分???axxf机动目录上页下页返回结束,),[上有上界在??a证证:,0)(?xf?,),[)(上单调递增有上界在??axF根据极限收敛准则知??
2、??????xaxxttfxFd)(lim)(lim存在,.d)(收敛即反常积分???axxfYANGZHOUUNIVERSITY定理2.(比较审敛原理),),[)(???aCxf设有分大的x且对充)()(0xgxf??,则收敛xxgad)(???收敛xxfad)(???发散xxfad)(???发散xxgad)(???机动目录上页下页返回结束证证:不失一般性,,),[时设???ax)()(0xgxf??,d)(收敛若xxga???有则对at?xxftad)(?xxgtad)(??xxgad)(????的是故txxftad)(?因此单调递增有上界函数,
3、YANGZHOUUNIVERSITYxxfxxfatatd)(d)(lim????????.d)(收敛即反常积分xxfa???机动目录上页下页返回结束,d)(发散若xxfa???时有因为at?xxgxxftatad)(d)(0????,???t令.)(必发散可见反常积分xdxga???说明:已知????xxapd11,?p收敛1,?p发散)0(?a,)0()(作比较函数故常取??AxAxgp得下列比较审敛法.极限存在,YANGZHOUUNIVERSITYYANGZHOUUNIVERSITY例例1.判别反常积分xxxd1sin1342????解解:的敛
4、散性.机动目录上页下页返回结束3421sin0??xx?341x?341x?由比较审敛法1可知原积分收敛.思考题:讨论反常积分xxd11133????的敛散性.提示:当x≥1时,利用11)1(1113333?????xxx可知原积分发散.YANGZHOUUNIVERSITY定理4.(极限审敛法1)机动目录上页下页返回结束,0)(,),[)(????xfaCxf且若;d)(收敛时xxfa???.d)(发散时xxfa????????lp0,1?????lp0,1lxfxpx????)(lim则有:1)当2)当证证:,1时当?p根据极限定义,对取定的,0?
5、?当x充分大时,必有???lxfxp)(,即pxMxf??) (0)(???lM;d)(收敛可见xxfa???满足YANGZHOUUNIVERSITY当机动目录上页下页返回结束.d)(发散可见xxfa???,1时?p可取,0??必有???lxfxp)(即pxlxf???)()(????lNxN,0???l使时用任意正???l(,)??lN代替数pxxpxxfxfx1)(lim)(lim???????注意:此极限的大小刻画了.0)(的快慢程度趋于时xfx???YANGZHOUUNIVERSITY例例2.判别反常积分????121dxxx的敛散性.解解
6、:2211limxxxx??????机动目录上页下页返回结束11lim21?????xx1?根据极限审敛法1,该积分收敛.例例3.判别反常积分xxxd11223????的敛散性.解解:21lim2321xxxx??????221limxxx?????1?根据极限审敛法1,该积分发散.YANGZHOUUNIVERSITY定理5.机动目录上页下页返回结束,d,),[)(收敛）（且若??????axxfaCxf.d)(收敛则反常积分???axxf证,])()([)(21xfxfx???令则)()(0xfx???,d收敛）（???axxf?,d)(也收敛??
7、??axx?)() (2)(xfxxf???xxfxxxxfaaad)(d)(2d)(????????????而.d)(收敛可见反常积分xxfa???YANGZHOUUNIVERSITY定义.设反常积分,d)(收敛xxfa???xxfad)(???,d)(收敛若???axxf机动目录上页下页返回结束则称绝对敛收敛;xxfad)(???,d)(发散若???axxf则称条件收敛.例例4.判断反常积分)0,,(dsin0?????ababxexa为常数的敛散性.解解:,sinxaxaexbe???因,d0收敛而xexa????根据比较审敛原理知,dsin
8、收敛????axaxbxe故由定理5知所给积分收敛(绝对收敛).YANGZHOUUNIVERSITY无界函数
