数值分析3.2.ppt

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1、3.2复化求积公式3.2.2复化simpson求积公式3.2.1复化梯形求积公式对于定积分其精确值.I=2.302585。用梯形公式（3.1.6）计算有用Simpson公式（3.1.7）计算　可以看出，它们的误差很大。由上一节的讨论可知，高阶Newton-Cotes求积公式是不稳定的。因此，通常不用高阶求积公式得到比较精确的积分值，而是将整个积分区间分段，在每一小段上用低阶求积公式。这种方法称为复化求积方法。本节讨论复化梯形公式和复化Simpson公式。高次插值有Runge现象，故采用分段低次插值分段低次合成的Newton-Cotes复合求积

2、公式。一、复化梯形公式:在每个上用梯形公式：=Tn3.2复化求积公式称Tn为复化梯形公式设由梯形公式的误差有因为所以存在使得（3.2.2）于是,复化梯形公式的余项为事实上，由定积分的定义可知，对[a，b]的任意分划　　所作黎曼和的极限存在。该积分对于等距分划和特殊的当然成立，于是对复化梯形公式有定义3.2如果一种公式有　　　　则称求积公式是P阶收敛的。显然，复化梯形公式是2阶收敛的。可以看出，误差（3.2.2）是阶的。而且，当时，，即复化梯形公式收敛到值得指出的是，收敛的结论，只要f（x）在[a，b]上可积即可成立。用复化梯形求积公式时，如果不

3、够精确，那么我们可以将每个子区间　对分，得到2n个子区间，再用复化梯形公式计算。此时，计算的分点也是计算的分点。（3.2.3）因此，我们可以将复化梯形公式递推化，即有其中。这样，计算时，只须把新分点上的函数值算出加到中即可。3.2.2复化simpson求积公式将积分区间[a,b]为n等份，h=(b-a)/h,在每个子区间　　　　　上用Simpson公式可得44444=Sn（3.2.4）称Sn为复化Simpson公式。设，由Simpson公式的误差有（3.2.5）类似于复化梯形公式的推导，复化Simpson公式的余项为由此可见，复化Simpson

4、公式是4阶收敛的。例3.3分别用复化梯形公式和复化Simpson公式计算时，要使用误差不超过，问各取多少个节点？解：由（3.2.2），令由此解得由（3.2.5），令由此解得。因此，复化梯形公式取361个节点，复化Simpson公式取19（即9×2+1）个节点。可见，复化Simpson公式明显由于复化梯形公式。例3.4计算解：其中=3.138988494其中=3.141592502运算量基本相同3.3用样条函数方法和外推法求下列函数的一阶和二阶导数，并结合函数的图形说明精度与步长h的关系。3.4设计自适应的Simpson方法求积分　　　　　　

5、　　的近似值，即对不同的子区间分别按精度标准确定各自适当的步长，计算各子区间上的积分近似值，然后将各个近似值相加，要求近似值的绝对误差限为　　　　　。