信号与系统课件(郑君里版)第二章.ppt

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1、第二章连续系统的时域分析微分方程的经典解法0+和0-初始值零输入响应与零状态响应冲激响应和阶跃响应卷积积分2.1LTI连续系统的响应一、微分方程的经典解微分方程的经典解：y(t)(完全解)=yh(t)(齐次解)+yp(t)(特解）齐次解是齐次微分方程yh(t)的函数形式由上述微分方程的特征根确定。特解的函数形式与激励函数的形式有关。齐次解的函数形式仅与系统本身的特性有关，而与激励f(t)数形式无关，称为系统的固有响应或自由响应；特解的函数形式由激励确定，称为强迫响应。全响应＝齐次解(自由响应)＋特

2、解(强迫响应)齐次解：写出特征方程，求出特征根（自然频率或固有频率）。根据特征根的特点，齐次解有不同的形式。一般形式（无重根）：特解：根据输入信号的形式有对应特解的形式，用待定系数法确定。在输入信号为直流和正弦信号时，特解就是稳态解。用初始值确定积分常数。一般情况下，n阶方程有n个常数，可用个n初始值确定。为特征根[例2.1.1]描述某系统的微分方程为y”(t)+5y’(t)+6y(t)=f(t)，求（1）当f(t)=2，t≥0；y(0)=2，y’(0)=-1时的全解；（2）当f(t)=，t≥0；

3、y(0)=1，y’(0)=0时的全解。解:(1)特征方程为+5λ+6=0其特征根λ1=–2，λ2=–3。齐次解为由表2-2可知，当f(t)=2时，其特解可设为将其代入微分方程得解得P=1于是特解为全解为：其中待定常数C1,C2由初始条件确定。y(0)=C1+C2+1=2，y’(0)=–2C1–3C2–1=–1解得C1=3，C2=–2最后得全解（2）齐次解同上。当激励f(t)=时，其指数与特征根之一相重。由表知：其特解为yp(t)=(P1t+P0)代入微分方程可得P1=所以P1=1但P0不能求得。全

4、解为将初始条件代入，得：y(0)=(C1+P0)+C2=1，y’(0)=–2(C1+P0)–3C2+1=0解得C1+P0=2C2=–1最后得微分方程的全解为上式第一项的系数C1+P0=2，不能区分C1和P0，因而也不能区分自由响应和强迫响应。二、关于0-和0+初始值1、0－状态和0＋状态0－状态称为零输入时的初始状态。即初始值是由系统的储能产生的；0＋状态称为加入输入后的初始状态。即初始值不仅有系统的储能，还受激励的影响。从0－状态到0＋状态的跃变当系统已经用微分方程表示时，系统的初始值从0－状态

5、到0＋状态有没有跳变决定于微分方程右端自由项是否包含(t)及其各阶导数。如果包含有(t)及其各阶导数，说明相应的0－状态到0＋状态发生了跳变。0＋状态的确定已知0－状态求0＋状态的值，可用冲激函数匹配法。求0＋状态的值还可以用拉普拉斯变换中的初值定理求出。各种响应用初始值确定积分常数在经典法求全响应的积分常数时，用的是0＋状态初始值。在求系统零输入响应时，用的是0－状态初始值。在求系统零状态响应时，用的是0＋状态初始值，这时的零状态是指0－状态为零。2、冲激函数匹配法目的：用来求解初始值，求（

6、0＋）和（0－）时刻值的关系。应用条件：如果微分方程右边包含δ（t）及其各阶导数，那么（0＋）时刻的值不一定等于（0－）时刻的值。原理：利用t＝0时刻方程两边的δ（t）及各阶导数应该平衡的原理来求解（0＋）①m≤n，则设②m>n，则设将y(t)及其各阶导数带入原方程，求出C0….Cm;对y(t)及各阶导数求（0－，0＋）的积分.[例2.1.2]：描述某系统的微分方程为y”(t)+3y’(t)+2y(t)=2f’(t)+6f(t)，已知y(0-)=2，y’(0-)=0，f(t)=u(t)，求y(0+

7、)和y’(0+)。解：将输入f(t)=u(t)代入上述微分方程得y”(t)+3y’(t)+2y(t)=2δ(t)+6u(t)列式得：代入原方程得a=2，b=0由上可见，当微分方程等号右端含有冲激函数（及其各阶导数）时，响应y(t)及其各阶导数中，有些在t=0处将发生跃变。但如果右端不含时，则不会跃变。从0-到0+积分得：得：三、零输入响应和零状态响应1、定义：（1）零输入响应：没有外加激励信号的作用，只有起始状态所产生的响应。（2）零状态响应：不考虑起始时刻系统储能的作用，由系统外加激励信号所产生

8、的响应。LTI的全响应：y(t)=yx(t)+yf(t)2、零输入响应（1）即求解对应齐次微分方程的解①特征方程的根为n个单根当特征方程的根(特征根)为n个单根(不论实根、虚根、复数根)λ1，λ2，…，λn时，则yx(t)的通解表达式为②特征方程的根为n重根当特征方程的根(特征根)为n个重根(不论实根、虚根、复数根)λ1=λ2=…=λn时，yx(t)的通解表达式为:（2）求yx(t)的基本步骤①求系统的特征根，写出yx(t)的通解表达式。③将确定出的积分常数C1，C2，…，Cn代入