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1、数学建模竞赛常见问题与方法(二）主成份分析法问题实际背景在现实生活中，人们往往会对样品收集尽可能多的指标，例如人口普查往往要调查每个人的姓名、年龄、性别、文化程度、住房、职业、收入、消费等几十项指标，从收集资料的角度来看，收集较多的数据有利于完整反映样品的特征，但是这些指标从统计角度来看相互之间具有一定的依赖关系，从而使所观测的数据在反映信息上有一定重叠。需要解决的问题因此，人们希望通过克服相关性、重叠性，用较少的变量来代替原来较多的变量，而这种代替可以反映原来多个变量的大部分信息，这实际上是一种“降维”的思想。主成分分析正是适应这一要求产生的，是解决这类题的理想工具。什么是主成分
2、分析法主成分分析也称主分量分析，是由Hotelling于1933年首先提出的。主成分分析法是一种降维的统计方法，它借助于一个正交变换，将其分量相关的原随机向量转化成其分量不相关的新随机向量，这在代数上表现为将原随机向量的协方差阵变换成对角形阵，在几何上表现为将原坐标系变换成新的正交坐标系，使之指向样本点散布最开的p个正交方向，然后对多维变量系统进行降维处理，使之能以一个较高的精度转换成低维变量系统，再通过构造适当的价值函数，进一步把低维系统转化成一维系统。有关数学模型与常见实例2008年美国数学建模竞赛题：“评价国家公共卫生体系上的应用”啤酒风味评价分析实例我国部分地区城镇居民家庭
3、收支基本情况分析实例主成分分析的基本思想我们知道，当一个变量只取一个数据时，这个变量（数据）提供的信息量是非常有限的，当这个变量取一系列不同数据时，我们可以从中读出最大值、最小值、平均数等信息。变量的变异性越大，说明它对各种场景的“遍历性”越强，提供的信息就更加充分，信息量就越大。主成分分析中的信息，就是指标的变异性，用标准差或方差表示它。主成分分析的基本理论线性代数与概率论与数理统计方法理论的有机结合它借助线性代数的一个正交变换，将其分量相关的原随机向量转化成其分量不相关的新随机向量它借助概率论与数理统计的一个方差越大，信息量越大代表性越强，来选取主成分。主成分分析法的计算步骤啤
4、酒风味评价实例分析题目：啤酒是个多指标风味食品,为了全面了解啤酒的风味,啤酒企业开发了大量的检测方法用于分析啤酒的指标,但是面对大量的指标数据,大多数企业又感到茫然,不知道如何利用这些大量的数据,来对各品牌的啤酒加以评价，由上面的介绍可知,在这种情况下,主成分分析法较为适合。构造样本阵（1）确定原始评价指标：即未经简化的指标p个本题选有：乙醛、乙酸乙酯、异丁酯、乙酸异戊酯、异戊醇及己酸乙酯（p=6）（2）确定评价对象：即定抽样，一般样本容量n个本题选有：百威啤酒、喜力啤酒和青岛啤酒，南方某种啤酒（n=4）（3）采集样本数据：采集n个样本的对应指标，得到n个p维的随机向量。xi=(x
5、i1,xi2,...,xip)T，i=1,2,…,n，（4）构造样本阵：X=(X1,X2,...,Xp)T。本题样本阵乙醛乙酸乙酯异丁酯乙酸异戊酯异戊醇己酸乙酯百威啤酒1.22.33.10.72.14.5喜力啤酒2.13.25.16.47.61.3青岛啤酒1.10.62.13.11.93南方某品牌2.31.54.13.213构造标准化阵Z指标规范化为克服单位差异对评价结果的响，须将样本阵元素规范化，得标准化矩阵Z其中本题标准化矩阵-1.000280.464991-0.5-1.46277-0.45111.5302351.2537311.6842111.4166671.9104482.
6、4126980.440678-1.21086-1.51122-1.5-0.138-0.537020.0493621.316154-0.464990.5-0.0828-0.923670.049362相关系数矩阵：对角元为1的实对称本题R=本题相关系数阵乙醛乙酸乙酯异丁酯乙酸异戊酯异戊醇己酸乙酯乙醛1乙酸乙酯0.4210551异丁酯0.8633970.8137331乙酸异戊酯0.6056130.4222220.6844671异戊醇0.3193610.7840870.6873860.8058141己酸乙酯-0.59667-0.36954-0.65158-0.99835-0.775321相
7、关系数阵的特征值及向量（1）解样本相关矩阵R的特征方程得p个特征根,（2）确定主成分个数m：并由大到小排列：，使信息的利用率达85%以上，（3）构造个主成份：对每个λj,j=1,2,...,m,解得单位特征向量则第j个主成份本题m=2，利用率d=45.1%+38.2%=83.3%构造综合评价价值函数：（1）首先构造权向量：，其中（2）构造价值函数：本题结果：综合结论：由好到差排序喜力啤酒百威啤酒青岛啤酒南方某种啤酒模型结果分析（1）：指标分析主成分的因子荷载图：单位特
