函数的极值与最值.ppt

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1、5函数的极值与最值一、极值的定义二、函数极值的求法三、最值的求法四、应用举例一、函数极值的定义定义:在其中当时,(1)则称为的极大值点,称为函数的极大值;(2)则称为的极小值点,称为函数的极小值.极大值点与极小值点统称为极值点.极大值与极小值统称极值。注意：函数的极值是函数的局部性质.二、函数极值的求法定理1(必要条件)注意:例如,定理2(第一充分条件)设在点处可导数,且，(不是极值点情形)(是极值点情形)例5解：极大值极小值例6解：注意:函数的不可导点,也可能是函数的极值点.求极值的步骤:定理3(第二充分条件)证例7解：注意:三、最值的求法则其最值只能在极值点

2、或端点处达到.特别:当在内只有一个极值可疑点时,当在上单调时,最值必在端点处达到.若在此点取极大值,则也是最大值.(小)对应用问题,有时可根据实际意义判别求出的可疑点是否为最大值点或最小值点.(小)步骤:1.求驻点和不可导点;2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较大小,那个大那个就是最大值,那个小那个就是最小值;注意:如果区间内只有一个极值,则这个极值就是最值.(最大值或最小值)四、应用举例例1解计算比较得(k为某常数)例2.铁路上AB段的距离为100km,工厂C距A处20AC⊥AB,要在AB线上选定一点D向工厂修一条已知铁路与公路每公里货运为使货物从B运

3、到工20解:设则令得又所以为唯一的极小值点,故AD=15km时运费最省.总运费厂C的运费最省,从而为最小值点,问D点应如何取?Km,公路,价之比为3:5,实际问题求最值应注意:(1)建立目标函数;(2)求最值;例3某房地产公司有50套公寓要出租，当租金定为每月180元时，公寓会全部租出去．当租金每月增加10元时，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花费20元的整修维护费．试问房租定为多少可获得最大收入？解设房租为每月元，租出去的房子有套，每月总收入为（唯一驻点）故每月每套租金为350元时收入最高。最大收入为1.连续函数的极值(1)极值可疑点:使导数为0或不

4、存在的点(2)第一充分条件过由正变负为极大值过由负变正为极小值五、小结(3)第二充分条件为极大值为极小值2.最值与极值的区别:最值是整体概念而极值是局部概念.1.求驻点和不可导点;2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较大小,那个大那个就是最大值,那个小那个就是最小值;实际问题求最值的步骤:P162习题3-51(1)(2),3,4(1),8,9;作业思考题思考题解答结论不成立.因为最值点不一定是内点.例在有最小值，但练习题练习题答案