江苏专版第7章第43讲 导数在研究函数中的应用.ppt

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1、第七章导数及其应用第43讲导数在研究函数中的应用函数的单调性x(－∞，b－1)b－1(b－1,1)(1，＋∞)f′(x)－0＋－当b－1>1，即b>2时，x、f′(x)的变化情况如下表：x(－∞，1)(1，b－1)b－1(b－1，＋∞)f′(x)－＋0－求函数的单调区间，先找出函数的极值点，再判断在极值点邻近函数的变化趋势．本题是用导数研究函数单调性的常见问题，由于参数b的大小直接影响函数的单调区间，因此要对b进行分类讨论．点评函数的极值本题是以函数极值为背景考查分析问题的思维能力和对参数范围的识别能

2、力．解答中有两处值得体会：一是极值点得导数等于0，但导数等于0的点不一定是极值点，故第一问需要检验；二是已知参数范围，恒成立问题求自变量的范围可以通过变量转化，也可以变量分离来求解．点评【变式练习2】已知函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－1(a>0)，若f(x)在其定义域内为增函数，求a的取值范围．【解析】因为函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－1(a>0)在R上为增函数，所以f′(x)＝3x2＋2ax＋3≥0在R上恒成立，由Δ＝4a2－36≤0，所以a2≤9，所以0

3、)＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0(只有当x＝－1时，f'(x)才等于0)，因此0

4、)＝32ln2－21.因此，f(7)＝3(16ln2－7)>16ln2－9＝f(1)，f(e－2－1)<－32＋11＝－21

5、【变式练习3】已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b在[－1,2]上的最大值为3，最小值为－29，求a，b的值．(2)当a<0时，若x<0，则f'(x)<0；若x>0，则f'(x)>0.所以f(0)＝b是极小值．又f(－1)＝－a－6a＋b＝b－7a，f(2)＝b－16a，所以f(－1)

6、)＝ex－1－x，则h'(x)＝ex－1－1.令h'(x)＝0，得x＝1.因为当x∈(－∞，1]时，h'(x)≤0，所以h(x)在(－∞，1]上单调递减．故当x∈(－∞，1]时，h(x)≥h(1)＝0；因为x∈[1，＋∞)时，h'(x)≥0，所以h(x)在[1，＋∞)上单调递增．故当x∈[1，＋∞)时，h(x)≥h(1)＝0.所以对任意x∈(－∞，＋∞)，恒有h(x)≥0.又x2≥0，因此，f(x)－g(x)≥0.故对任意x∈(－∞，＋∞)，恒有f(x)≥g(x)．比较两个函数的大小时，要考虑两个函数

7、的定义域，取其公共定义域，比较两函数的大小才有意义．本题两函数的定义域都是全体实数．作差是比较大小的常用方法，作差后再构造函数，利用导数研究函数的单调性和极值、最值是解决不等式问题的重要思想方法．点评【变式练习4】已知函数f(x)＝x4＋ax3＋2x2＋b(x∈R)，其中a，b∈R.若对于任意的a∈[－2,2]，不等式f(x)≤1在[－1,1]上恒成立，求b的取值范围．【解析】f'(x)＝4x3＋3ax2＋4x＝x(4x2＋3ax＋4)．由条件a∈[－2,2]，可知方程4x2＋3ax＋4＝0的Δ＝9a

8、2－64<0，从而4x2＋3ax＋4>0恒成立．当x<0时，f'(x)<0；当x>0时，f'(x)>0.1.若f(x)＝－x2＋bln(x＋2)在[－1，＋∞)上是减函数，则b的取值范围是_____________.【解析】由f'(x)＝－x＋<0，得b<(x＋1)2－1(x≥－1)，所以b<－1.(－∞，－1)5.已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋1在区间(－∞，－2]上单调递增，在区间[－2,2]上单调递减，且b≥0.(1)求f(x)的解析式；(