基于弹性接触的共轭梯度算法.pdf

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1、第34卷第2期重庆工商大学学报(自然科学版)2017年4月Vol．34NO．2JChongqingTechnolBusinessUniv.(NatSciEd)Apr．2017doi:10．16055/j．issn．1672－058X．2017．0002．013基于弹性接触的共轭梯度算法余小刚，杜俊怀(南京理工大学理学院，南京210094)摘要:为了解决有约束的基于共轭梯度二次规划算法的多次迭代问题，结合共轭梯度算法和有效集策略，提出了一个新的算法模型，通过对变量的截取(使用Polak-Bibiere公式)来避免重新开

2、始共轭梯度算法，在大规模的弹性接触问题中，大量的结果表明了这个算法的有效性。关键词:凸规划;条件约束;共轭梯度算法;有效集策略;弹性接触问题中图分类号:F224．7文献标志码:A文章编号:1672-058X(2017)02-0060-05两个弹性体接触时会发生形变，这时就产生了效集策略里出现的线性系统问题通常都是用共轭形变势能和外力势能，由平衡状态时的总势能处于梯度算法来求解。更简单的考虑是利用不精确的极小值的条件导出变分方程，就得到有约束的一个解，在精确解求出来之前停止迭代，共轭梯度算法二次凸规划问题。在满足连续性

3、以及接触面不可和有效集策略相互交织一起使用。穿透条件的所有位移场中，接触物体的物理状态满目前，基于共轭梯度法的一些算法需要很多次足最小化属性。迭代，这些算法在扩大有效集的时候显得格外谨针对二次规划和更一般的凸规划，有许多的解慎，而且被多次重启共轭梯度算法所阻碍，这是有决策略，主要有内点法和有效集策略(HagerW效集策略带来的缺点。如果过大地改变有效集，就［1-2］(2006)，BertsekasD(1999))。由于后面一种算可能导致在迭代过程中出现死循环。这意味着有法在处理问题的时候更简单，所以更受青睐。有效效集

4、算法在迭代过程中，可能过一个周期后，就会集策略在解决凸规划问题中，利用了一系列的子问找到之前迭代的点，这样一直循环，从而找不到最题，其中不等式约束(非有效约束)被忽略，简单地优解。用等式(有效约束)来替代。针对凸规划这些子问题有更简单的结构，因为约束条件都是等式约束，1问题构造最优解只需要满足这些等式约束即可。针对凸规划，有效集策略还有一个更好的特性，即算法中采1．1连续问题构造用的变量可以很好地解释其物理意义。所考虑的两个接触物体具有各向同性、均匀和在解决大型的线性系统AX=b的问题中(A是完全弹性的要求，接触面相

5、对于物体本身的尺寸是［3-4］α正定矩阵)，共轭梯度算法是一个非常重要的方很小的(集中接触)。外表面法线被定义为n，其中法。它使用起来比较简单，收敛性也很好，收敛速α=1，2是物体的编号。外表面法线几乎穿过所有度是典型的超线性收敛。平常应用时通常会引进接触面，参考点就选在接触面上或接触面附近。定2一些预设条件来进一步提高它的收敛速度，因此有义一个笛卡尔坐标系oxyz，其中z轴和n的方向一收稿日期:2016－05－11;修回日期:2016－10－28．作者简介:余小刚(1990－)，男，安徽安庆人，硕士，从事非线性最优

6、化研究．第2期余小刚，等:基于弹性接触的共轭梯度算法61致，都指向物体Ⅰ。sub．p(x)≥0，X∈H(5)两个物体接触面上一个接触点对X的位移记对φ离散化，得到一个典型凸二次规划问题，由库αα作u(X)，应力记为p(X)。两个接触的物体，对接恩-塔克最优条件，得到其线性互补问题。(2)(1)触面上的任一点有p(X)=－p(X)总是成立的，所1．2离散化(2)以可以不考虑p(x)，只考虑单变量p(X)=为了解决这个问题的离散化，最方便的是用矩(1)p(X)。进一步，由于位移在法线方向上不同，所(1)(2)形H=［x

7、1，xh］×［y1，yh］将潜在接触面离散化，分成以引进一个相对位移，u(X)=u(X)－u(X)。n=mx·my个小矩形，每一个小矩形的尺寸为δx×本篇文章中，考虑的是无摩擦的正常弹性接触δy。每一个元素可以通过二维指数(ix，iy)表示，也可问题，主要考虑p和u在法线方向上的分量。在未发生变形时定义几何平面作为参考平面，以通过字典序号i=ix+(iy－1)·my表示。对每一个i，它决定了是属于接触区ε域还是外部区域瓘。式两个物体表面上的点相对于参考平面的距离为h1(x，y)和h2(x，y)，于是给出未变形的距离h

8、=h(1)－(1)—(4)通过插入恒定的应力使得问题离散化，得(2)到一个熟悉的凸规划:h，所以两个面的间隙(距离)在接触后为e=h+u(1)1TTminφ(p)=pAp+ph(6)p2主要关注的情况为h是完全确定的，不同的情况对应不同h值。对于平面oxy定义一个子集H作sub．pi≥0，i=1，…，n(7)为可能潜在的接触面，这个区域分为实际