微分几何_曲线的概念.ppt

《微分几何_曲线的概念.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、§2曲线的概念曲线是微分几何的主要研究对象，面且其研究方法也适用于曲面论，所以学好曲线论是非常重要的本节主要内容为2.1曲线的概念2.2光滑曲线曲线的正常点2.3曲线的切线和法线2.4曲线的弧长自然参数2.1曲线的概念几种观点1、把曲线看成是两个曲面的交线2、把曲线看成是动点运动的轨迹3、用映射观点来定义交线为此先介绍映射的有关知识给出两个集合和，如果集合中的每一个点（元素），有中的点和它对应，则我们说给定了到的一个映射，称为点的像，称为的原像对于任取集合中的点和，如果时有，则称映射是一一的（或单的）如果，我们就说是从到的在上映射（或称满的）映射的有关知识

2、定义：如果一个开的直线段到三维欧氏空间内建立的对应是一一的，双方连续的在上映射，则我们把三维欧氏空间中映射的像称为简单曲线。（得到的曲线无自交点）例1：开椭圆弧的向量参数表示是例2：圆柱螺线的向量参数表示是例1和例2分别是曲线的坐标式参数方程和向量式参数方程对于曲线：r=r(t)，t的增加方向规定为曲线的正向.定义：如果向量函数在区间上连续，取坐标原点为的始点，则其终点所描述的图形称为曲线，且称为曲线的向量式参数方程，称为曲线的坐标式参数方程。注：曲线的坐标式和向量式参数方程是不唯一。2.2光滑曲线曲线的正常点定义：如果曲线的参数表示式或中的函数是阶连续可

3、微的函数，则把这类曲线称为类曲线。当时，类曲线又称为光滑曲线。对于光滑曲线，假设对于曲线上有则这一点称为曲线的正常点。如果在一段曲线上则变成常向量，这时曲线段缩成一点，所以一段曲线上的点是孤立点。曲线上所有点都是正常点时，则称曲线为正则曲线。性质1、在正常点附近的点也是正常点证：所以由数分知识在某小邻域内则有2、在正常点附近曲线上的点可表示成证：设是正常点，则则在小邻域内有，代入则得结论。也可能其它表示例若参数曲线C:rr(t)a=const.,tR，则其几何图形仅仅表示一点，而不是正常的曲线；此时所有的参数值对应于图形实体的同一点．这是非正则曲线的

4、极端例子．例圆柱螺线视为动点的轨迹，通常参数化为r(t)(acos(wt),asin(wt),vt),tR，其中三个常数a0,w0和v0分别为动点运动的圆周半径、角速率和向上速率．此时r(t)(awsin(wt),awcos(wt),v)0，说明该参数化使之成为正则曲线．2.3曲线的切线和法面给出曲线上一点点，是邻近一点，把线绕点旋转，使点沿曲线趋近于点，若割线趋近于一定的位置，则我们把割线的极限位置称为曲线在点的切线，定点称为切点。对于曲线，称为曲线在对应点的切向量。曲线上一点的切线方程曲线上一点对应的参数是，点的向径是，是切线上任一点

5、的向径，因为则得点的切线的向量式方程为其中为切线上的参数。注：1、切线是通过切点的所有直线中最贴近曲线的。2、正常点有唯一的切线3、切向量与曲线的正向一致切线的坐标式的方程设则切线方程消去得到这是坐标表示的切线方程。法面：经过切点，而垂直于切线的平面称为曲线的法面。曲线的法面方程：设曲线上一点，对应的参数是，点向径是是法面上任一点的向径，则由得到曲线的法面方程向量式为若设则由上述法面方程的坐标式为（坐标表示的法面方程）2.4曲线的弧长自然参数曲线的弧长设C:rr(t),t(a,b)考虑过点r(t0)和r(t0t)的割线有而正则性保证r(t)0，

6、当t0时定义：对于正则曲线称积分为曲线从点到的弧长。自然参数：我们知道曲线有不同的参数表示，能否找一种参数使研究曲线很方便呢？回答是肯定的这就是弧长参数（自然参数）。1、弧长参数优越性当s=t有2、rr(t)的参数是自然参数的充要条件是3、弧长作参数是可以做到的。例：圆柱螺线参数化为r(t)(acos(wt),asin(wt),vt),tR，其中三个常数a>0,w0和v00．试求t=0计起到t的弧长解：r(t)=(awsin(wt),awcos(wt),v)，参数变换定义：对于曲线给出函数如果，则称为曲线的一个参数变换，在次变换下曲线的方

7、程为命题1：参数变换曲线的正则性和正向不变。证：t增加则u增加,故正向不变故正则性不变命题：曲线上两点间的弧长与参数的选取无关。证：设为曲线的一个参数变换且