微分几何 1.2 曲线的概念

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1、第二节曲线的概念2、1曲线的概念2、曲线一个开直线段到三维欧氏空间内建立的一个一一的，双方连续的在上的映射f（拓扑映射或同胚）下的象叫简单曲线段。1、映射给出两个集合E，，法则f，如果通过E中每个点（或元素）x，有中唯一的点与之对应，则说f为从E到的映射，为象，x为原象。一一映射（单射）：不同元素的象不同。在上映射（满射）：中元素都有原象。双方连续的：一个映射以及它的逆映射都连续。3、曲线的参数方程坐标式向量式例1、开园弧例2、园柱螺线或例书中的开园和园柱螺线。2、2光滑曲线曲线的正常点1、光滑曲线如果曲线的参

2、数表示式中的函数是k阶连续可微的函数，则把这曲线称为类曲线。类的曲线又称为光滑曲线。2、正常点曲线上满足一阶导矢不为零的点叫曲线的正常点。即若t0为曲线的正常点，则由于所以中至少有一个不为零例如园柱螺线由于b不为0，由z=bt得t=z/b，代入x=acost,y=asint得x=acos(z/b)y=asin(z/b)。这是园柱螺线的另一种表示法。3、正则曲线若曲线上任一点都是正常点，则此曲线称为正则曲线。由中至少有一个不为零不妨设,则在曲线的正常点的充分小的邻域里，x=x(t)在t0邻近有连续可微的反函数t=

3、t(x),代入y=y(t),z=z(t)，即得这是曲线的另一种表示方法。2、3曲线的切线和法面2、切线的方程（设曲线上的点都有是正常点）设切线上任一点的径矢为则设则3、例求园柱螺线上一点处的切线。1、切线割线的极限切向量4、法面经过切点且垂直于切线的平面。5、法面的方程设是法面上任一点，则或例题求园柱螺线的法面方程2、4曲线的弧长自然参数给出类曲线（C）：作分点Pi得折线，长为得弧长若用表a到t的弧长，则这里的积分上限大于下限，所得的曲线的弧长总是正值。弧长公式为即可写成现在定义一新函数s(t)为：s(t)=

4、0,t=a,得而且s(t)是t的单调增加函数（），它的反函数存在设为t=t(s)，代入曲线方程得到以s为参数的曲线方程或x=x(s),y=y(s),z=z(s),s称为自然参数。记对s(t)微分得此外还有，因此为单位切向量。练习10将园柱螺线化为自然参数表示。