微分几何1.3空间曲线

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1、第三节空间曲线3、1空间曲线的密切平面P(t)0r(t)1、定义过空间曲线上P点的0切线和P点邻近一点Q可作一平Q(t0t)面，当Q点沿曲线趋于P时，平面的极限位置称为曲线R在P点的密切平面。O对于2类的曲线上任一正常点处的c密切平面是最贴近于曲线的切平面。2、密切平面的方程2给出C类的曲线（C）：rr(t)P(t0)r(t)0有PQr(tt)r(t)Q(tt)00012r(t)t(r(t))t020R因为向量r(t)和PQ都在平面上，所以它们的0O线性组合2[PQ

2、r(t)t]r(t)也在平面上。t200两边取极限得r(t)在极限平面上，即P点的密切平面上，因此0只要r(t)r(t)0这个向量就可以作为密切平面的一个法向量。密切平面方程为(Rr(t),r(t),r(t))0000用R{X,Y,Z}表示P点的密切平面上任一点的向径，则上式表示为Xx(t)Yy(t)Zz(t)000x(t)y(t)z(t)0000x(t)y(t)z(t)000如果曲线用自然参数s表示，则将上式中的撇改成点。平面曲线的密切平面就是曲线所在的

3、平面。例题求园柱螺线上任一点的密切平面。P3、2空间曲线的基本三棱形dr1、给出2类曲线得一单位向量r，称为曲Crr(s)ds线（C）上P点的单位切向量。（注意到1）称rr为曲线在P点的主法向量,它垂直于单位切向量。称为曲线在P点的付法向量。把两两正交的单位向量,,称为曲线在P点的伏雷内（Frenet)标架。2、由任意两个基本向量所确定的平面分别叫做密切平面、法平面、从切平面。而由三个基本向量和上面三个平面所构成的图形叫做曲线的基本三

4、棱形。3、对于曲线（C）的一般参数表示rr(t),有rrr(rr)r(rr)r,,rrrrrr4、例题P343、3空间曲线的曲率，挠率和伏雷内公式设空间曲线（C）为C3的，且以s为参数。P1、曲率定义（C）在P为的曲率为(s)Pk(s)lim1s0s(ss)有k(s)（一个单位向量微商的模等于它对于变量的旋转速度）2、曲率的几何意义是曲线的切向量对于弧长的旋转速度。曲率越大，曲线的弯曲程度就越

5、大，因此它反映了曲线的弯曲程度。3、挠率与曲率类似有lims0s(s)(ss)rrk(s)(ss)k(s),()k(s),.(1)//.定义曲线（C）在P点的挠率为,当和异向,(s),当和同向.挠率的绝对值是曲线的付法向量对于弧长的旋转速度。4、由定义可得(s)又()

6、(s)k(s)k(s)(s)于是有k(s)k(s)(s)(s)这个公式称为空间曲线的伏雷内（Frenet)公式。它的系数组成一反称方阵0k(s)0k(s)0(s)0(s)05、曲率和挠率的一般参数表示式给出3类的曲线（C）：Cdrdsdsdsrr(t),rrr.dsdtdtdt22222r(r)dsrdsdrdsrdsrdsr

7、ds,222dtdtdsdtdtdtdt223dsdsdsds所以rrrrrrr,2dtdtdtdt3ds3因此rrrrsinkr(r1,rr)dtrr由此得到曲率的一般参数的表示式k3r由01()()111()(())111(rr)[()r

8、r](r,r,r)26r(r,r,r)2(rr)(r,r,r)可得挠率公式为