3埃特金牛顿.ppt

《3埃特金牛顿.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、思路：构造新的迭代函数，提高收敛阶.寻找新的迭代公式由前面性质（定理2.1）知：当k很大时，有2.3.4埃特金加速法（Aitken）原来迭代函数解出该式可作为一个迭代公式.令,则可以证明：具体可利用洛必塔法则（型）得到：（然后将代入得）还可以证明：若原来是线性收敛，则是平方收敛；若是p阶()收敛，则新的迭代函数是（2p-1）阶收敛。（证明略）2.4牛顿法与割线法2.4.1牛顿法特点：①.将非线性方程转为线性方程处理；②.可计算重根；③.可推广到n维空间求根。思路：设是的近似根,将在点作一阶泰勒展开（转

2、为线性方程）①可得迭代公式:几何意义：迭代公式可看成与轴()的交点.（令左式中，即得①式）两个公式联合，可得几何意义：表示曲线过的切线方程与x轴的交点作为下一个迭代点。牛顿法也称为切线法。只要初值点足够靠近，牛顿法局部收敛。初值可通过别的方法求出。2.4.3收敛速度利用前面定理判断，需计算各阶导数及在点处的值。对，先计算各阶导数：2.4.2收敛性对单根情况，设为的单根，可写成∴(其中)∴且：(一般地，)∴由前面定理知：p=2，即2阶局部收敛，且有：对m重根（m≥2），可类似知收敛阶为1：设为的m重根，即

3、有∴利用及迭代法性质，得∴由前面定理知，对重根（m≥2）是一阶局部收敛总结：牛顿法特点：局部收敛，收敛速度快，可处理重根。例：使用牛顿法求在x=0.4附近根，∴迭代具体可通过判断迭代是否结束。要求达到4位有效数字。2.4.4大范围收敛性牛顿法对初值要求比较苛刻，要充分靠近（可与别的方法结合）。要对初值在较大范围内收敛，需对附加的一些条件（充分条件）。定理：设在区间[a,b]上存在二阶连续导数，且满足①②③④则牛顿法二阶收敛。简要说明：①和②保证[a,b]内有唯一根，因为在[a,b]内切线不再同一侧，有可

4、能不收敛于，如图所示，具体证明可见参考文献。若保证在区间内收敛，也可改用牛顿下山法。③保证在[a,b]上是凹或凸曲线，④保证当时,.牛顿下山法介绍：为防止迭代发散，可对迭代附加条件:（1）这样可保证收敛，称为下山法。具体的，可将前后两次迭代计算作加权平均，构造新的迭代公式，即设为迭代x+1次的结果新迭代公式为权因子（下山因子）对于权因子迭取，可采用类似二分法，先取=1，若不能保证(1),对减半迭取，如果仍不能保证(1)，则需要更换初值。2.4.5割线法（弦截法，弦切法）牛顿法每迭代一次需计算,计算量大。

5、可使用差商代替，用表示即所以迭代公式：几何意义：可看成直线（该直线斜率）与x轴（y=0）交点。当较复杂时，特点：迭代需2个初值（可取有根区间端点）；(可求出，不必重新计算).不需计算导数；计算中，每迭代1次只需求1次收敛速度与牛顿法相比稍慢，但还是较快.该方法也称为抛物线法（Muller法）该方法还可推广，利用三个点构成迭代公式，三个点可构造二次抛物线方程，例：使用割线法求在x=0.4附近的根，要求达到4位有效数字（上机作业）2.5代数方程求根的劈因子法以上方法可计算单根、重根，都为实数根；该方法可用来

6、求复根。思路：设方程从中分离出一个二次多项式，(二次方程有求根公式，可求重根和复根)为n-2次多项式这样可转为对求根，关键问题是如何找,可使用迭代法。即,可事先构造初始函数，通过迭代，逐步逼近,即对系数u,v精确化，从而得到.用，可得余式（1）其中,p(x),r0,r1都依赖于w(x),即与u,v有关.可记r0=r0(u,v),r1=r1(u,v),若（r0,r1)(0,0)，则为满足一定精度的二次多项式.迭代过程就是对u,v修正,令希望：（2）对（2）式在（u,v）处二元函数一阶泰勒展开，得（3）需求

7、解（3）式中的未知数,此时r0,r1已知,（用所得余项即是）对①式两边关于v求偏导得(此时f(x)不依赖于v,p(x),w(x),r0,r1都与v有关∴－p(x)=w(x)+x+∴－p(x)/w(x),所得余项即为,同理对①式两边关于u求偏导得需求,,,,计算如下:0=p(x)+w(x)+x+0=xp(x)+w(x)+x+∴用－xp(x)/w(x),所得余项即为,利用上面系数对③求,得到修正值,若u,v精度不够，可继续迭代下去，直至满足精度。第1章复习作业：上机练习，要求二分法，牛顿法求解例子。即－xp

8、(x)=w(x)+x+第三章线性方程组数值解3.1问题：工程领域、应用问题都涉及到，a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1………………………an1x1+an2x2+…+annxn=bn其中aij、bi为系数，xi为未知数.可写成矩阵形式表示方法∴方程组为也可以写成增广矩阵若矩阵A的行列式detA≠0，由克莱姆法则得xi=其中D=detA，Di=表示用b代替A中第i列元素的行列式值。一般求解方法：对n阶方程组：需计算n+1个n阶行列式，