二自由度系统振动2.ppt

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1、第三章二自由度系统振动董明明振动与噪声控制实验室(2)无阻尼自由振动要使方程解耦，就是要寻找合适的描述系统振动的广义坐标系，使得系统的阻尼和刚度矩阵在这个广义坐标下为对角矩阵，这等价于寻找一个变换矩阵[u]，使得刚度和阻尼矩阵都对角化。无阻尼振动的微分方程如变换矩阵存在如果存在变换矩阵[u]，使得{x}=[u]{y}，在{y}下的微分方程：等价为两个彼此独立的微分方程：初始条件如果初始条件则：其中：方程的解在初始条件方程的解说明在特殊初始条件下，两个自由度以同频率做简谐振动，相位差为0或π方程的

2、解在初始条件方程的解说明在特殊初始条件下，两个自由度以同频率做简谐振动，相位差为0或π其中总响应对于一般初始条件二自由度无阻尼系统在特殊初始条件下的自由振动是简谐振动，其特点：两个自由度以相同频率振动，相位差为0或π；两个自由度的坐标之比是与系统物理参数有关而与时间无关的常数。重要定义：固有振动：多自由度振系在特定初始条件下以单一频率进行的自由振动固有频率：固有振动的频率固有振型：在每种固有振动中，系统各个坐标之间有确定的比例关系，这种特定的振动形态称为固有振型振系在任意初始条件下的自由振动是两

3、种固有振动的叠加。结论固有频率和振型的求解考虑方程将方程的解带入：令可得：由于和线性无关，所以要使上述等式成立，只有特征方程根据线性代数理论，要使{u1}，{u2}有非零解的充分必要条件是：称此式为微分方程的特征方程或频率方程固有频率的求取将展开可以得到的二次代数方程，可以解出的两个根由于[M]是正定矩阵，[K]是半正定矩阵，因此取正平方根并设振型的求取将特征根分别代入，求得对应的特征向量，即振型振型的性质振型乘上一个非零常数，仍然满足下式，因此每个振型向量中，至少有一个数需人为给定一般地，令固

4、有频率和它所对应的振型完全由质量和刚度矩阵决定，与外界激励无关，是系统固有的特性。结论通过以上的求解过程，说明我们当初假定的对角化变换矩阵确实存在，它就是我们的振型矩阵。方程的解就是常数的确定由和初始条件解系数的确定振型的选取对最终的解无影响！！！例2例3.3如图所示弹簧质量系统坐标和微分方程以m1，m2水平位移x1，x2为广义坐标，平衡位置为坐标原点，水平向右为两坐标正向，建立坐标系。系统的动能：系统的势能：质量和刚度矩阵质量矩阵刚度矩阵：特征方程特征方程：解得：求第一阶振型将代入取求第二阶振

5、型将代入取振型矩阵方程的解方程解得形式解的讨论1⑴；。把、向右移动相同的距离，然后同时无初速度的放开和受到的力大小、方向均相同，二者的质量又相同，因此它们的速度和位移也相同，在整个振动过程中，不变形，等效为一无质量的刚性杆等效系统。运动简图解的形式响应为：解的讨论2⑵(把m1向左、m2向右均移动x0，然后同时无初速度的放开)这是一个反对称的初始条件，由于系统的对称性，在振动过程中，弹簧k1中点没有运动，就像一个固定点。在这种情况下，系统被等效为k1被分成相等的两半，每个刚度为2k1，这是两个系统

6、彼此独立，并且完全一样的单自由度系统。（初始条件不同）。运动简图解的形式解的讨论3当m1和m2初始位移为0，初始速度不为零，相同解的讨论4当m1和m2初始位移为0，初始速度不为零，相反作业：3.13.7