必修五 正弦定理.doc

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1、高中数学必修五解斜三角形の正弦定理概念：一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。正弦定理：在△ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，三角形外接圆的半径为R。则有即，在一个三角形中，各边和它所对角的正弦之比相等，该比值等于该三角形外接圆的直径长度。证明：△ABC，做其外接圆，圆心为O。我们考虑∠C及其对边AB。设AB长度为c。若∠C为直角，则AB就是⊙O的直径，即c=2R。∵∴若∠C为锐角或钝角，过B作直径BD交⊙O于D，连接DA，显然BD=2R。∵在同圆或等圆中直径所对的圆周角是直角。∴∠DAB是

2、直角。若∠C为锐角，则D与C落于AB的同侧，此时∵在同圆或等圆中同弧所对的圆周角相等。∴∠D=∠C∴若∠C为钝角，则D与C落于AB的异侧，此时∠D=180°-∠C，亦可推出。在△DAB中，应用正弦函数定义，知因此，对任意三角形的任一角及其对边，均有上述结论。考虑同一个三角形内的三个角及三条边，应用上述结果。可得。故对于任意三角三角形，定理得证。【公式变形】（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k使，，；（2）等价于，，从而知正弦定理的基本作用为：7明创实教育，专业中学辅导机构（咨询电话

3、：29000001）高中数学必修五解斜三角形の正弦定理②已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如；②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如。（3）面积定理：S△ABC=ab·sinC/2=bc·sinA/2=ac·sinB/2=abc/(4R)（4）公式变形：　　　①a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC;　　②sinA:sinB:sinC=a:b:c③a/sinA=b/sinB=c/sinC=a+b/sinA+sinB=a+b+c/sinA+sinB+sinC考点一：是指已知两边一角(或二角一

4、边或三边)，求其它三个元素问题，进而求出三角形的三线(高线、角平分线、中线)及周长等基本问题．【例题分析】例1．在中，已知，，cm，解三角形。解：根据三角形内角和定理，；根据正弦定理，；根据正弦定理，评述：对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。例2．在中，已知cm，cm，，解三角形（角度精确到，边长精确到1cm）。解：根据正弦定理，因为＜＜，所以，或⑴当时，，⑵当时，，例3中，，BC＝3，则的周长为（）A．B．7明创实教育，专业中学辅导机构（咨询电话：29000001）高中数学必修五解斜三角形の正弦定理C．D．分析：由正弦定理，求出b

5、及c，或整体求出b＋c，则周长为3＋b＋c而得到结果．解：由正弦定理得：，得b＋c＝[sinB＋sin(－B)]＝．故三角形的周长为：3＋b＋c＝，故选(D)．评注：由于本题是选择题也可取△ABC为直角三角形时，即B＝，周长应为3＋3，故排除(A)、(B)、(C)．而选(D)．例4在中，已知，那么一定是（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．正三角形解法1：由＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB，即sinAcosB－cosAsinB＝0，得sin(A－B)＝0，得A＝B．故选(B)．例5　在△ABC中，

6、，C＝30°，求a＋b的最大值。∵C＝30°，∴A＋B＝150°，B＝150°－A。由正弦定理，得因此∴a＋b的最大值为。考点二：正余弦定理解三角形的实际应用（一.）测量问题图1ABCD例6如图1所示，为了测河的宽度，在一岸边选定A、B两点，望对岸标记物C，测得∠CAB=30°，∠CBA=75°，AB=120cm，求河的宽度。分析：求河的宽度，就是求△ABC在AB边上的高，而在河的一边，已测出AB长、∠CAB、∠CBA，这个三角形可确定。7明创实教育，专业中学辅导机构（咨询电话：29000001）高中数学必修五解斜三角形の正弦定理解析

7、：由正弦定理得，∴AC=AB=120m，又∵，解得CD=60m。点评：虽然此题计算简单，但是意义重大，属于“不过河求河宽问题”。（二.）遇险问题例7某舰艇测得灯塔在它的东15°北的方向，此舰艇以30海里/小时的速度向正东前进，30分钟后又测得灯塔在它的东30°北。若此灯塔周围10海里内有暗礁，问此舰艇继续向东航行有无触礁的危险？西北南东ABC30°15°图2解析：如图舰艇在A点处观测到灯塔S在东15°北的方向上；舰艇航行半小时后到达B点，测得S在东30°北的方向上。在△ABC中，可知AB=30×0.5=15，∠ABS=150°，∠AS

8、B=15°，由正弦定理得BS=AB=15，过点S作SC⊥直线AB，垂足为C，则SC=15sin30°=7.5。这表明航线离灯塔的距离为7.5海里，而灯塔周围10海里内有暗礁，故继续航行有触礁的危险。点评：有关斜三角形的实