必修四向量加法运算及其几何意义(附答案).doc

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1、向量加法运算及其几何意义[学习目标]　1.理解并掌握加法的概念，了解向量加法的物理意义及其几何意义.2.掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地运用这两个法则作两个向量的加法运算.3.了解向量加法的交换律和结合律，并能依几何意义作图解释加法运算律的合理性．知识点一　向量的加法1．向量加法的定义定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法．对于零向量与任一向量a，规定0＋a＝a＋0＝a.2．向量求和的法则三角形法则如图，已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作＝a，＝b，则向量叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝平行四边形法则如图，已知两个不共线向量a，b，作＝a，＝

2、b，以，为邻边作▱ABCD，则对角线上的向量＝a＋b思考　如图，已知向量a,b，分别利用三角形法则和平行四边形法则作出向量a＋b.13答案　作法1：在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b.作法2：在平面内任取一点O，作＝a，＝b，以OA，OB为邻边作▱OACB，连接OC，则＝＋＝a＋b.知识点二　向量的加法和向量的模(1)当向量a与b不共线时，a＋b的方向与a，b都不相同，且

3、a＋b

4、<

5、a

6、＋

7、b

8、；(2)当a与b同向时，a＋b，a，b的方向相同，且

9、a＋b

10、＝

11、a

12、＋

13、b

14、；(3)当a与b反向时，若

15、a

16、≥

17、b

18、，则a＋b与a的方向相同，且

19、a＋b

20、＝

21、a

22、－

23、b

24、.若

25、

26、a

27、<

28、b

29、，则a＋b与b的方向相同，且

30、a＋b

31、＝

32、b

33、－

34、a

35、.知识点三　向量加法的运算律交换律a＋b＝b＋a结合律(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)思考1　根据下图中的平行四边形ABCD，验证向量加法的交换律：a＋b＝b＋a.(注：＝13a，＝b)答案　∵＝＋，∴＝a＋b.∵＝＋，∴＝b＋a.∴a＋b＝b＋a.思考2　根据下图中的四边形ABCD，验证向量加法的结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．答案　∵＝＋＝(＋)＋，∴＝(a＋b)＋c，又∵＝＋＝＋(＋)，∴＝a＋(b＋c)，∴(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．题型一　向量加法及其运算律例1　化简：(1)＋；(2)＋＋；(3)

36、＋＋＋＋.解　(1)＋＝＋＝.(2)＋＋＝＋＋13＝(＋)＋＝＋＝0.(3)＋＋＋＋＝＋＋＋＋＝＋＋＋＝＋＋＝＋＝0.跟踪训练1　如图，在平行四边形ABCD中，O是AC和BD的交点．(1)＋＝________；(2)＋＋＝________；(3)＋＋＝________；(4)＋＋＝________.题型二　向量加法在平面几何中的应用例2　已知四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且＝，＝.求证：四边形ABCD是平行四边形．证明　＝＋，＝＋，又∵＝，＝，∴＝.∴AB＝CD且AB∥DC.∴四边形ABCD为平行四边形．13跟踪训练2　如图所示，在四边形ABCD中，＝＋，试判断四边形

37、的形状．解　∵＝＋，∴＝＋＝＋＋＝＋＋＝，即＝.∴四边形ABCD为平行四边形．题型三　向量加法的实际应用例3　在水流速度为4km/h的河中，如果要船以12km/h的实际航速与河岸垂直行驶，求船航行速度的大小和方向．解　如图，设表示水流速度，则表示船航行的实际速度，作AD綊BC，则即表示船航行的速度．因为

38、

39、＝4，

40、

41、＝12，∠CAB＝90°，所以tan∠ACB＝＝，即∠ACB＝30°，∠CAD＝30°.所以

42、

43、＝8，∠BAD＝120°.即船航行的速度为8km/h，方向与水流方向所成角为120°.跟踪训练3　如图所示，一架飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800km到达B地接到受伤人

44、员，然后又从B地按南偏东55°的方向飞行800km送往C地医院，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和．解　设，分别表示飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800km，从B地按南偏东55°的方向飞行800km，则飞机飞行的路程指的是

45、

46、＋

47、

48、；13两次飞行的位移的和指的是＋＝.依题意，有

49、

50、＋

51、

52、＝800＋800＝1600(km)，又α＝35°，β＝55°，∠ABC＝35°＋55°＝90°，所以

53、

54、＝＝＝800(km)．其中∠BAC＝45°，所以方向为北偏东35°＋45°＝80°.从而飞机飞行的路程是1600km，两次飞行的位移和的大小为800km，方向为北偏东80°.向量加法的多边形法

55、则向量加法的三角形法则可以推广为多个向量求和的多边形法则，即把每个向量平移，使这些向量首尾相连，则由第一个向量的起点指向最后一个向量终点的向量就是这些向量的和向量．如图，即：＋＋＋…＋＝.或＋＋…＋＋＝0.这是一个极其简单却非常有用的结论．利用向量加法的多边形法则化简多个向量的和有时非常有效．例4　在正六边形ABCDEF中，＋＋＋＋＋＝________.解析　＋＋＋＋＋＝(＋)＋(＋)＋(＋)＋(＋)＋(＋)＋(＋)＝(＋＋＋＋＋)＋(＋＋＋＋＋)＝0＋0＝0.答案