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1、导数问题易错点辨析341600江西信丰中学邱善玮罗小平导数是高屮新课程的新增内容，它既是研究函数性态的有力工具，又是对学生进行理性思维训练的良好素材。但学生在学习导数时，有许多问题形式相似，但实质不同，学生在解决此类问题时，由于对导数基本概念、理论的理解存在着误区，造成解题失误，木文对相关的问题加以归纳辨析。一、对函数“单调性”与“导数值符号”的关系理解一般地,设函数y=f(x)在某个区间内可导,如果广(x)>0,则/(x)在此区间为增函数;如果广(x)<0,则/(兀)在此区间为减函数,要用导数判断函数的单调性,除掌握以上依据外，还应明确以下两点(以增函数为例)：1
2、.fx)>0与/(x)为增函数的关系:由上可知，广⑴〉0,则/⑴为增函数，但反Z不一定。如/(x)=%3在(-00,+oo)上为增函数，但广(0)=0,BP/z(x)>0,所以f(x)>0是/(x)为增函数的充分不必要条件。2./"(X)>0与/(无)为增函数的关系：由上分析：/(X)为增函数，则一淀可推出广⑴no,但反之不一淀成立,因为广u)>o为广⑴〉0或广(x)=0o两者有一成立即可,当函数/(尢)在某区间内恒有广⑴=0时,/(X)为常数函数，此时.fd)就不具备单调性，所以，广(X)no是/(X)为增函数的必要不充分条件。例1：已知函/(x)=A"3+ax
3、2+X+2(xG/?),若/'(兀)在X€(-00,+00)上是增函数,求实数a的取值范围。解：•・•/(X)=X3+t7X2+X+2•°•广(x)=3x2+2ax+1若4=4a2-12<0即一V30.-./(X)在/?上单调递增若4=4/-12=0即ci=土也,对于xeR有广(x)n0当且仅当广（-纟）=0/./（X）在/?上单调递增若A〉。，显然不合综上所述，若/⑴在/?上是增函数，a取值范围为aw-观，羽评注：函数的单调性为函数的一条重要性质，我们一定要理解好以上两个关系，用导数判断好函数的单调性。二、对函数的单调区间为
4、［d,b］与函数在区间［a,b］是单调函数混淆不清例2：己知函数f（x）=x3-ax^-2在（l,+oo）上是增函数，求a的值。错解：・.•厂（x）=3F—g,函数的一个递增区间为（1,+a））/.fx）在（1,+00）上大于0,且1是方程fx）=0的一个根3xI2—6/=06/=3剖析：此题与“函数f（^=x3-ax+2的一个单调递增区间为（1，+8）,求a的值”两道题忖很相似，但题意却不一样，解题方法也不一样，函数在（l,+oo）上为递增函数，只要（1,+oo）是函数的增区间的了集就行。正解：・・•八兀）=3X_a,由f（x）=x3-ax+2在（l,+oo）
5、上是增函数，得yf=3x2-a在（l,+oo）上大于0恒成立，即得6/<3o三、误解了“导数为零”与“有极值”的逻辑关系利用导数求极值的步骤分为三步：1.求导数广（朗；2.求方程广（x）=0的根；3.检验广⑴在方稈根左右的值的符号，如果左正右负，那么/（兀）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么/O）在这个根处取得极小值。例3:函数/（X）=X3+ax2+/7X+672在x=l处有极值10,求a,b的值。错解：fXx）=3x2+2ax^b由题意矢n/Z（1）=OK/（I）=10,即2d+方+3=0,且+a+b+1=0解Z得a=4^=-ll或d=—3#=3・剖析：错
6、误的主要原因是对/a。)为极值的充要条件理解不清，把/(九。)为极值的必要条件当做了充要条件。/(兀°)为极值的充要条件是广(％)=0且广⑴在附近两侧的符号相反,所以后面应该加上：因为当6/=4,方=一11时，/z(x)=3x2+8x-11=(3x+1l)(x-1).广⑴在兀=1附近两则的符号相反，故几兀)在兀=1处有极值—4上=一11,而当a—3时，广(x)=3(x-1冗广(兀)在x=附近两侧的符号相同，/(A-)在兀=1处并没有极值。所以a=-^h=3应舍去。例4求函数/(x)=(2x-5)V?的极值。错解：显然，/(朗的定义域为(-oo,”3)r.z10
7、1
8、0~10x-lf(X)=——X3X'=L333坂令广(x)=0,得x=.当x>l时,广⑴〉0,/(x)为增函数;当xvl时,广(x)vO,/(无)为减函数。/(x)在x=l处取得极小值，极小值为/(I)=-3剖析：可导函数的极植点一定是它的导数为零的点，但导数为零的点，不一定是该函数的极值点。也就是说，对可导函数来说，导数为零的点仅是该点为极值点的必要条件。此外,还要注意定义域内导数不存在的点。函数不可导的点也可能是函数的极值点。in2in-1inr_1正解：/(无)的定义域为(-00,4-00),/'(X)=一X3X3=一333ijx令广(x)=o,得x=
