一数学归纳法.ppt

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1、数学归纳法一、归纳法——由某类事物的一些特殊情况（或其全部可能情况），推出该类事物的一般性结论的推理方法.归纳法｛不完全归纳法完全归纳法由特殊一般特点:a2=a1+da3=a1+2da4=a1+3d……an=a1+(n-1)d如何证明？an=a1+(n-1)d(n∈N*)阅读教材P46～48二、数学归纳法(1)验证当n取第一个值n0(例如n0=1)时,命题P(n0)成立；(2)假设当n=k(kN*，kn0)时,命题P(k)成立,并由此证明当n=k+1时，命题P(k+1)也成立.完成这两步，就可以断定这

2、个命题对从n0开始的所有正整数n都成立.这种证明方法叫做数学归纳法.在证明某些与自然数有关的数学命题P(n)时,可用下述方法来证明它们的正确性:【思考】你能证明上述结论吗？提示：可考虑用“反证法”证明二、数学归纳法验证n=n0时命题P(n0)成立假设当n=k(kn0)时命题P(k)成立,证明当n=k+1时命题P(k+1)也成立下结论：命题P(n)对从n0开始的所有正整数n都成立.例1用数学归纳法证明：首项为a1,公差为d的等差数列{an}的通项公式是an=a1+(n-1)d证明：（1）当n=1时，a1=

3、a1+(1-1)d，命题成立；（2）假设n=k时命题成立，即ak=a1+(k-1)d则当n=k+1时，ak+1=ak+d=a1+(k-1)d+d=a1+[(k+1)-1)]d命题也成立.根据（1）、(2)可知：公式对任意正整数n都成立.证明：设n=k时，命题成立，即k=k+1;则当n=k+1时，有k+1=(k+1)+1,命题也成立.故命题对任意n∈N*都成立.【探究1】下述用数学归纳法的证题过程有错误，试找出错在哪儿，并予以更正.1.证明“任意相邻两个自然数都相等”,即“n=n+1,n∈N*”的过程如下：

4、证明（1）当n=1时，左边=1，右边=1，等式成立.（2）假设n=k(k∈N,k≥1)时等式成立,即1+3+5+……+(2k-1)=k2，则当n=k+1时：1+3+5+……+(2k-1)+[2(k+1)-1]=1+3+5+……+(2k-1)+(2k+1)==(k+1)2即当n=k+1时，等式也成立.根据(1),(2)可知，对n∈N等式都成立.2.用数学归纳法证明：1+3+5+…+(2n-1)=n2（n∈N）的过程如下：【探究2】下述用数学归纳法的证题过程有错误，试找出错在哪儿，并予以更正.1.用数学归

5、纳法证题时,要分两个步骤,这两个步骤是一个有机整体，缺一不可.注意!2.步骤（1）“归纳奠基——检验P(n0)成立”不可或缺，且须确保其真实性（找准no）.否则，步骤（2）的“归纳假设”就没有了基础，化为子虚乌有！当完成了步骤（1）后，步骤（2）中的“归纳假设”就有了基础，变得真实可靠；而步骤（2）的完成，则使这种真实性得以传递，这样一来便实现了从有限到无限的跨越.3.在步骤（2）中，归纳假设(即“命题P(k)成立”)这一条件必须使用，否则，就没有对“承前启后即传递性”进行实质性的证明，从而出现走过场的现

6、象！例2求证:(n+1)(n+2)…(n+n)=2n•1•3•…•(2n-1)证明：(1)当n=1时：左边=1+1=2，右边=21•1=2，左边=右边，等式成立.(2)假设当n=k(k∈N）时等式成立，即：(k+1)(k+2)…(k+k)=2k•1•3•…•(2n-1)则当n=k+1时：左边=(k+2)(k+3)…(k+k)(k+k+1)(k+k+2)=(k+1)(k+2)(k+3)…(k+k)•=2k•1•3•…•(2k-1)•(2k+1)•2=2k+1•1•3•…•(2k-1)•[2(k+1)-1]=

7、右边，即当n=k+1时等式也成立.根据(1)、(2)可知，对一切n∈N,等式都成立.（2k+1)(2k+2)k+1[练习]证明：(n∈N＊）