一数学归纳法 (4).ppt

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1、1.了解数学归纳法的原理.2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.1.数学归纳法的适证对象数学归纳法是用来证明关于命题的一种方法，若n0是起始值，则n0是使命题成立的.正整数最小正整数2.数学归纳法的步骤用数学归纳法证明命题时，其步骤如下：(1)当n＝时，验证命题成立；(2)假设n＝时命题成立，推证当n＝时命题也成立，从而推出对所有的命题成立.k＋1n0(n0∈N*)k(k≥n0，k∈N*)n≥n0，n∈N*[思考探究]数学归纳法的两个步骤的作用分别是什么？提示：数学归纳法中两个步骤体现了递推思想，第一步是递推基础，也叫归纳奠基，第二步是递推的

2、依据，也叫归纳递推.两者缺一不可.1.在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n－3)条时，第一步检验n等于()A.1B.2C.3D.0解析：因为n≥3，所以，第一步应检验n＝3.答案：C2.用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋an＋1＝(a≠1)，在验证n＝1时，等式左端计算所得的项是()A.1B.1＋aC.1＋a＋a2D.1＋a＋a2＋a3解析：因为当n＝1时，an＋1＝a2，所以验证n＝1时，等式左端计算所得的项是1＋a＋a2.答案：C3.利用数学归纳法证明“(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)，n∈N*”时，从

3、“n＝k”变到“n＝k＋1”时，左边应增乘的因式是()A.2k＋1B.2(2k＋1)C.D.解析：当n＝k(k∈N*)时，左式为(k＋1)(k＋2)…(k＋k)；当n＝k＋1时，左式为(k＋1＋1)·(k＋1＋2)·…·(k＋1＋k－1)·(k＋1＋k)·(k＋1＋k＋1)，则左边应增乘的式子是＝2(2k＋1).答案：B4.用数学归纳法证明：，第一步应验证左式是，右式是.解析：令n＝1则左式为1－，右式为.答案：5.记凸k边形的内角和为f(k)，则凸k＋1边形的内角和f(k＋1)＝f(k)＋.解析：由凸k边形变为凸k＋1边形时，增加了一个三角形，

4、故f(k＋1)＝f(k)＋π.答案：π1.用数学归纳法证明与自然数有关的一些等式问题，关键在于弄清等式两边的构成规律：等式的两边各有多少项，由n＝k到n＝k＋1时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项；难点在于寻求等式中n＝k和n＝k＋1时之间的联系.2.用数学归纳法证明与正整数有关的等式时，通常采用的步骤为：(1)找出f(k＋1)与f(k)的递推关系；(2)把归纳假设f(k)＝g(k)代入；(3)作恒等变形把f(k＋1)化为g(k＋1).[特别警示]运用数学归纳法需注意以下几点：①n＝n0时，n0的取值；②两个步骤，缺一不可；③证n＝k＋1成立

5、时必须用上归纳假设.对于n∈N*，用数学归纳法证明：1·n＋2·(n－1)＋3·(n－2)＋…＋(n－1)·2＋n·1＝n(n＋1)(n＋2).[思路点拨][课堂笔记]设f(n)＝1·n＋2·(n－1)＋3·(n－2)＋…＋(n－1)·2＋n·1.(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝1，左边＝右边，等式成立；(2)假设当n＝k时等式成立，即1·k＋2·(k－1)＋3·(k－2)＋…＋(k－1)·2＋k·1＝k(k＋1)(k＋2)，则当n＝k＋1时，f(k＋1)＝1·(k＋1)＋2[(k＋1)－1]＋3[(k＋1)－2]＋…＋[(k＋1)－2]·3＋

6、[(k＋1)－1]·2＋(k＋1)·1＝f(k)＋1＋2＋3＋…＋k＋(k＋1)＝k(k＋1)(k＋2)＋(k＋1)(k＋1＋1)＝(k＋1)(k＋2)(k＋3).∴n＝k＋1时等式也成立.∴由(1)(2)可知，当n∈N*时等式都成立.用数学归纳法证明与正整数有关的不等式一般有两种具体形式：一是直接给出不等式，按要求证明；二是给出两个式子，按要求比较它们的大小.对第二类形式往往先对n取前几个值的情况分别验证比较，以免出现判断失误，最后猜出从某个n值开始都成立的结论，再用数学归纳法证明.[特别警示]如果在数学归纳法证题的过程中，没有运用归纳假设，不

7、论形式上多么相似，也不能称此证明方法为数学归纳法.已知数列{an}，an≥0，a1＝0，－1＝.求证：当n∈N*时，an＜an＋1.[思路点拨][课堂笔记](用数学归纳法证明)(1)当n＝1时，因为a2是方程x2＋x－1＝0的正根，所以a1＜a2.(2)假设当n＝k(k∈N*，k≥1)时，0≤ak＜ak＋1，因为＝(＋ak＋2－1)－(＋ak＋1－1)＝(ak＋2－ak＋1)(ak＋2＋ak＋1＋1)＞0，所以ak＋1＜ak＋2，即当n＝k＋1时，an＜an＋1也成立.根据(1)和(2)，可知an＜an＋1对任何n∈N*都成立.把题设条件中的“a

8、n≥0”改为“当n≥2时，an＜－1”，其余条件不变，求证：当n∈N*时，an＋1＜an.证明：(1)当n＝1时，因为a2是x2＋x－1