立体几何（丁沟中学）.doc

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1、立体几何模拟题1．（本小题满分14分）直棱柱中，底面ABCD是直角梯形，∠BAD＝∠ADC＝90°，．（Ⅰ）求证：AC⊥平面BB1C1C；（Ⅱ）在A1B1上是否存一点P，使得DP与平面ACB1平行？证明你的结论．ABCDD1C1B1A1证明：（Ⅰ）直棱柱中，BB1⊥平面ABCD，BB1⊥AC．……………………2分又∠BAD＝∠ADC＝90°，，∴，∠CAB＝45°，∴，BC⊥AC．……………5分又，平面平面BB1C1C，AC⊥平面BB1C1C．………………7分（Ⅱ）存在点P，P为A1B1的中点．………………8分证明：由P为A1B1的中点，有PB1‖AB，且PB1＝AB

2、．………9分又∵DC‖AB，DC＝AB，DC∥PB1，且DC＝PB1，∴四边形DCPB1为平行四边形，从而CB1∥DP．………12分又CB1面ACB1，DP面ACB1，DP‖面ACB1．…………14分2在四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，PA＝2AB＝2．（Ⅰ）求四棱锥P－ABCD的体积V；（Ⅱ）若F为PC的中点，求证PC⊥平面AEF；（Ⅲ）求证CE∥平面PAB．解：（Ⅰ）在Rt△ABC中，AB＝1，∠BAC＝60°，∴BC＝，AC＝2．在Rt△ACD中，AC＝2，∠CAD＝60°，∴CD

3、＝2，AD＝4．∴SABCD＝．则V＝．（Ⅱ）∵PA＝CA，F为PC的中点，∴AF⊥PC．∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD．∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC．∴CD⊥PC．∵E为PD中点，F为PC中点，∴EF∥CD．则EF⊥PC．∵AF∩EF＝F，∴PC⊥平面AEF．（Ⅲ）证法一：取AD中点M，连EM，CM．则EM∥PA．∵EM平面PAB，PA平面PAB，∴EM∥平面PAB．在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，AC＝AM＝2，∴∠ACM＝60°．而∠BAC＝60°，∴MC∥AB．∵MC平面PAB，AB平面PAB，∴MC∥平面PAB．∵EM∩MC＝M，

4、∴平面EMC∥平面PAB．∵EC平面EMC，∴EC∥平面PAB．证法二：延长DC、AB，设它们交于点N，连PN．∵∠NAC＝∠DAC＝60°，AC⊥CD，∴C为ND的中点．∵E为PD中点，∴EC∥PN．∵EC平面PAB，PN平面PAB，∴EC∥平面PAB．3已知：三棱锥A-BCD与圆柱，BD为直径，O、M分别为BD、AD中点，AC与底面所成角为60度，AB为圆柱的母线，BE垂直AC于E（1）求证：OM∥平面ABC（2）求证：BE⊥平面ACD（3）若CD=2，∠CBD=30度，试分别计算三棱锥A-BCD与圆柱的体积.解答：（1）(2)(3)