江苏省无锡市市北高中2014届高三上学期期初考试数学试题.doc

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1、无锡市市北高中2014届高三期初考试数学试卷一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）1．已知全集，，，则．答案：2．函数的最小正周期是．答案：13．．答案：－24．在等差数列中，若，则．答案：45．若正实数x，y满足，则xy的最小值是．答案：186．若方程的解所在区间为[m,m+1](m∈Z),则m=.答案：17．设，函数有意义,实数m取值范围.答案：8．已知、、都是单位向量，且，则的值为．答案：9．已知函数的图象关于直线，则f(x)的单调

2、递增区间为．答案：10．椭圆中有如下结论：椭圆上斜率为1的弦的中点在直线上，类比上述结论得到正确的结论为：双曲线上斜率为1的弦的中点在直线上．答案：11．设则的值为．答案：2812．函数在区间上的最小值为_________．答案：013．已知是边长为4的正三角形，D、P是内部两点，且满足，则的面积为．答案：14.已知函数，若,且，则的最小值是.答案：-16二、解答题：（本大题共6小题，共90分将解答过程写在答卷纸上相应的位置）15．(本题满分14分)第15题ABCDA1B1C1如图，正三棱柱中，

3、点是的中点.（Ⅰ）求证:平面；（Ⅱ）求证:平面.证:（Ⅰ）因为是正三角形,而是的中点，所以……………3分又BC是两个相互垂直的平面与面的交线,且,所以………………………………7分（Ⅱ）连接,设,则E为的中点,连接,由是的中点,得………11分又,且,所以平面………14分16．（本题满分14分）已知．（1）若，求的值；（2）若，求的值．解：（1）∵∴…………………………………………5分（2）∵∴…………………………………………7分……………………………………9分或或7………………………………14分1

4、7．(本题满分14分)如图，在中，边上的中线长为3，且，．ADBC第16题（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求边的长．解:（Ⅰ）因为，所以…………2分又,所以……………4分所以………………………7分（Ⅱ）在中,由正弦定理,得,即,解得……………10分故,从而在中,由余弦定理,得=,所以……………………14分18．（本题满分16分）如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求M在AB的延长线上，N在AD的延长线上，且对角线MN过C点。已知AB=3米，AD=2米。（1）设（单位：米），要使

5、花坛AMPN的面积大于32平方米，求的取值范围；（2）若（单位：米），则当AM，AN的长度分别是多少时，花坛AMPN的面积最大？并求出最大面积。解：由于则AM＝故SAMPN＝AN•AM＝…………4分（1）由SAMPN>32得>32，因为x>2，所以，即（3x－8）（x－8）>0从而即AN长的取值范围是…………8分（2）令y＝，则y′＝…………10分因为当时，y′<0，所以函数y＝在上为单调递减函数，从而当x＝3时y＝取得最大值，即花坛AMPN的面积最大27平方米，此时AN＝3米，AM=9米………

6、…1519．（本题满分16分）设二次函数在区间上的最大值、最小值分别是M、m，集合．（1）若，且，求M和m的值；（2）若，且，记，求的最小值．解：（1）由……………………………1分又…………………3分…………4分……………………………5分……………………………6分（2）x=1∴，即……………………………8分∴f（x）=ax2+（1–2a）x+a,x∈[–2,2]其对称轴方程为x=又a≥1，故1–……………………………9分∴M=f（–2）=9a–2…………………………10分m=…………………………

7、…11分g（a）=M+m=9a––1……………………………14分=………16分20．（本题满分16分）已知数列中，前和①求证：数列是等差数列②求数列的通项公式③设数列的前项和为，是否存在实数，使得对一切正整数都成立？若存在，求的最小值，若不存在，试说明理由。解：①∵∴数列为等差数列。②即公差为2③要使得对一切正整数恒成立，只要≥，所以存在实数使得对一切正整数都成立，的最小值为。