八年级数学几何证明题.doc

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1、数学李老师qq:2957615146几何证明：图6【例1】．已知：如图6，△、△分别是以、为斜边的直角三角形，且，△是等边三角形．求证：△是等边三角形．证明：∵∠BCE=90°∠ACD=90°在△ECB和△ACD中∠BCE=∠BCA+∠ACEBE=AD∠ACD=∠ACE+∠ECD∠BCE=∠ACD∴∠ACB=∠ECDEC=CD∵△ECD为等边三角形∴△ECB≌△DCA(HL)∴∠ECD=60°CD=EC∴BC=AC即ACB==60°∵∠ACB=60°∴△是等边三角形[例2】、如图，已知BC>AB，AD=DC。BD平分∠ABC。求证：∠A+∠C=180°.证明：在BC上截取BE=BA

2、,连接DE,∴∠A=∠BEDAD=DE∵BD平分∠BAC∵AD=DCE∴∠ABD=∠EBD∴DE=DC在△ABD和△EBD中得∠DEC=∠CAB=EB∵∠BED+∠DEC=180°∠ABD=∠EBD∴∠A+∠C=180°BD=BD△ABD≌△EBD（SAS）1、线段的数量关系:通过添加辅助线构造全等三角形转移线段到一个三角形中证明线段相等。①倍长中线第3题【例.3】如图，已知在△中，，，平分，交于点.求证：证明：延长DC到E，使得CE=CD,联结AE∵∠ADE=60°AD=AE∵∠C=90°∴△ADE为等边三角形∴AC⊥CD∴AD=DEE∵CD=CE∵DB=DA∴AD=AE∴BD=

3、DE∵∠B=30°∠C=90°∴BD=2DC∴∠BAC=60°∵AD平分∠BAC∴∠BAD=30°∴DB=DA∠ADE=60°9数学李老师qq:2957615146【例4.】如图，是的边上的点，且，，是的中线。求证：。证明：延长AE到点F,使得EF=AE联结DF在△ABE和△FDE中∴∠ADC=∠ABD+∠BDABE=DE∵∠ABE=∠FDE∠AEB=∠FED∴∠ADC=∠ADB+∠FDEAE=FE即∠ADC=∠ADF∴△ABE≌△FDE（SAS）在△ADF和△ADC中∴AB=FD∠ABE=∠FDEAD=ADF∵AB=DC∠ADF=∠ADC∴FD=DCDF=DC∵∠ADC=∠ABD

4、+∠BAD∴△ADF≌ADC(SAS)∵∴AF=AC∴AC=2AE【变式练习】、如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分∠BAE.证明：延长AE到点F,使得EF=AE联结DF在△ACE和△FDE中∴∠ADB=∠ACD+∠CDACE=DE∵∠ACE=∠FDEF∠AEC=∠FED∴∠ADB=∠ADC+∠FDEAE=FE即∠ADB=∠ADF∴△ACE≌△FDE（SAS）在△ADF和△ADB中∴AC=FD∠ACE=∠FDEAD=AD∵DB=AC∠ADF=∠ADB∴DB=DFDF=DB∵∠ADB=∠ACD+∠CAD∴△ADF≌ADB(SAS)∵AC=DC∴∠FAD=

5、∠BAD∴∠CAD=∠CDA∴AD平分∠DAE　【小结】熟悉法一、法三“倍长中线”的辅助线包含的基本图形“八字型”和“倍长中线”两种基本操作方法，倍长中线，或者倍长过中点的一条线段以后的对于解决含有过中点线段有很好的效果。　　　　　　　　　　　　【变式练习】：如图所示，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AC=BF。　求证：AE=EF。证明：延长AD至点G，使得DG=AD，联结BD在△ADC和△GDB中∴BG=BFAD=GD∴∠BFG=∠BGF∠ADC=∠GDB∵∠CAD=∠BGD9数学李老师qq:2957615146BD=DC∴∠BFG=∠CAD∴△ADC≌△GD

6、B（SAS）∵∠BFG=∠AFEG得AC=BG∠CAD=∠BGD∴∠AFE=∠FAE∵AC=BF∴AE=AF②、借助角平分线造全等【例5】如图，已知在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分线AD,CE相交于点O，求证：OE=OD证明：在AC上截取AF=AE,联结OF在△AOE和△AOF中在△ABC中，∠B+∠BAD+∠ACB=180°AE=AF∵∠B=60°∠EAO=∠FAO∴∠BAD+∠ACB=120°AO=AOF∵AD平分∠BAC∴△AOE≌△AOF（ASA）在△COD和△COF中∴∠BAC=2∠OAC∴∠AOE=∠AOEOE=OF∠DCO=∠FCO∵CE平分∠ACB∵∠A

7、OE=60°CO=CO∴∠ACB=2∠ACO∠AOE+∠AOE+∠FOC=180°∠DOC=∠FOC∴2∠OAC+2∠ACO=120°∠FOC=6O°∴△COD≌△COF（ASA）∴∠OAC+∠ACO=60°∵∠AOE=∠COD∴OD=OF∵∠AOE=∠OAC+∠ACO∴∠COD=60°∵OE=OF∴∠AOE=60°∴OE=ODF【例6】．如图，△ABC中，∠BAC=90度，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，BD的延长线垂直于过C点的直线于E，直线CE交BA的延长线