中考数学折叠问题讲义.doc

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1、中考数学——六种类型折叠问题类型1直角三角形的翻折或翻折后产生直角三角形的问题例1．如图，Rt△ABC中，AB＝9，BC＝6，∠B＝90°，将△ABC折叠，使点A与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为（　　）【分析】设BN＝x，则由折叠的性质可得DN＝AN＝9﹣x，根据中点的定义可得BD＝3，在Rt△BND中，根据勾股定理可得关于x的方程，解方程即可求解．【解答】设BN＝x，由折叠的性质可得DN＝AN＝9﹣x，∵D是BC的中点，∴BD＝3，在Rt△NBD中，x+3＝（9﹣x），解得x＝4．即BN＝4．故选：A．例1变式1．如图，在Rt△ABC中，直角边AC

2、＝6，BC＝8，将△ABC按如图方式折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则CD的长为（　　）A．25/4B．22/3C．7/4D．5/3【解析】由题意得DB＝AD；设CD＝x，则AD＝DB＝（8﹣x），∵∠C＝90°，∴AD﹣CD＝AC,（8﹣x）﹣x＝36，解得x＝7/4；即CD＝7/4．故选：C．例1变式2．如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点E为BC上一点，将△ABE沿AE折叠得到△AEF，点H为CD上一点，将△CEH沿EH折叠得到△EHG，且F落在线段EG上，当GF＝GH时，则BE的长为_____．【解析】由折叠可得∠AEH＝1/2∠BEC＝90°，

3、进而得出Rt△AEH中，AE+EH2＝AH，设BE＝x，则EF＝x，CE＝6﹣x＝EG，再根据勾股定理，即可得到方程x+4+（6﹣x）+（6﹣2x）＝（2x﹣2）+6，解该一元二次方程，即可得到BE的长．BE的长为2．【点评】本题主要考查的是翻折的性质、矩形的性质、勾股定理以及解一元二次方程的综合运用，解决问题的关键是连接AH构造直角三角形AEH，这种折叠问题常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．方法策略模式：在折叠后产生的直角三角形中，把某条边设成未知数根据勾股定理列方

4、程求解。类型2翻折前有平行线这一条件的问题例2．如图，在长方形纸片ABCD中，AD＝4cm，把纸片沿直线AC折叠，点B落在E处，AE交DC于点O，若OC＝5cm，则CD的长为（　　）A．6cmB．7cmC．8cmD．10cm【分析】由折叠的性质可得：∠BAC＝∠EAC＝∠ACD，可得AO＝CO＝5cm，根据勾股定理可求DO的长，即可求CD的长．【解答】∵折叠，∴∠BAC＝∠EAC，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD，∴∠EAC＝∠ACD，∴AO＝CO＝5cm，在直角三角形ADO中，利用勾股定理可求得DO＝3cm，∴CD＝DO+CO＝3+5＝8

5、cm．故选：C．例2变式．如图，矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝8，现将A、C重合，使纸片折叠压平，设折痕为EF，则图形中重叠部分△AEF的面积为_____．【解析】设AE＝x，由折叠可知，EC＝x，BE＝8﹣x，在Rt△ABE中，AB+BE＝AE，即4+（8﹣x）＝x，解得：x＝5，由折叠可知∠AEF＝∠CEF，∵AD∥BC，∴∠CEF＝∠AFE，∴∠AEF＝∠AFE，即AE＝AF＝5，∴S△AEF＝1/2×AF×AB＝1/2×5×4＝10．故答案为：10．方法策略模式：图形折叠后，相当于出现了角平分线，有角平分线，有平行，就会产生等腰三角形，我们去找那个等腰

6、三角形一般就会使得问题得到解决。类型3 直角三角形的翻折，利用三垂直模型解答例3．如图，平面直角坐标系中，已知矩形OABC，O为原点，点A、C分别在x轴、y轴上，点B的坐标为（1，2），连接OB，将△OAB沿直线OB翻折，点A落在点D的位置，则cos∠COD的值是（　　）A．3/5B．1/2C．3/4D．4/5【分析】根据翻折不变性及勾股定理求出GD、CG的长，再根据相似三角形的性质，求出DF的长，OF的长即可解决问题；【解答】作DF⊥y轴于F，DE⊥x轴于E，BD交OC于G．∵在△BCG与△ODG中，∠BCG＝∠ODF，OD=BC,∠DOF＝∠GBC，∴△BCG≌

7、△ODG，∴GO＝GB，∴设GO＝GB＝x，则CG＝GD＝2﹣x，于是在Rt△CGB中，（2﹣x）+1＝x；解得x＝5/4．GD＝2﹣x＝2﹣5/4＝3/4；∵BC⊥y轴，DF⊥y轴，∴∠BCG＝∠DFG，∵∠BGC＝∠DGF，∴△CBG∽△FDG，∴DF/BC=DG/BG，∴DF＝3/5；【点评】本题考查翻折变换、矩形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考常考题型．例3变式．如图，小红用一张长方形纸片ABCD进行折纸，使得顶点D落在边BC上的点F处（折痕为AE）．已知该纸片