2019_2020学年高中数学第二章推理与证明2.2直接证明与间接证明2.2.1综合法和分析法讲义新人教A版.docx

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1、2.2.1综合法和分析法1．直接证明从题目的条件或结论出发，根据已知的定义、定理、公理等，通过推理直接推导出所要证明的结论，这种证明方法称为直接证明．常用的直接证明方法有综合法和分析法．2．综合法01020304(1)定义：一般地，利用□已知条件和某些数学□定义、□定理、□公理等，经过一系列05的□推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．(2)框图表示：用P表示已知条件，已有的定义、公理、定理等，Q表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为：P⇒Q1Q1⇒Q2Q2⇒Q3…Qn⇒

2、Q3．分析法0607定义：一般地，从要证明的□结论出发，逐步寻求使它成立的□充分条件，直至最后，08091011把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(□已知条件、□定理、□定义、□公理等)为止，这种证明方法叫做分析法．框图表示：用Q表示要证明的结论，则分析法可用框图表示为：得到一个明显Q⇐P1P1⇐P2P2⇐P3…成立的条件综合法与分析法的比较1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)综合法是执果索因的逆推证法．()(2)分析法的推理过程要比综合法优越．()(3)综合法的推理过程实际上是

3、寻找它的必要条件．()答案(1)×(2)×(3)√2．做一做(1)证明不等式a＋1－aB是sinA>sinB的________条件(填“充分”“必要”“充要”或“既不充分又不必要”)．答案(1)分析法(2)综合法(3)充要探究1综合法的应用11例1已知a，b是

4、正数，且a＋b＝1，求证：＋≥4.ab[证明]证法一：∵a，b是正数，且a＋b＝1，1∴a＋b≥2ab，∴ab≤，211a＋b1∴＋＝＝≥4.ababab111证法二：∵a，b是正数，∴a＋b≥2ab>0，＋≥2>0，abab11＋11∴(a＋b)ab≥4.又a＋b＝1，∴＋≥4.ab11a＋ba＋bbaba证法三：＋＝＋＝1＋＋＋1≥2＋2·＝4.abababab当且仅当a＝b时，取“＝”号．11a＋b＋25[结论探究]本例已知条件不变，求证：ab≥.4[证明]∵a＋b＝1，a>0，b>0，1∴a＋

5、b≥2ab，∴0

6、π－csin4＝a.求证：B－C＝.2ππππ＋C＋B＋C＋B证明由bsin4－csin4＝a及正弦定理得sinBsin4－sinCsin4＝sinA，2222sinC＋cosCsinB＋cosB2即sinB22－sinC22＝，整理得sinBcosC－cosBsinC23ππ＝1，即sin(B－C)＝1.又0

7、>0时，用分析法证明如下：222要证a＋b≥(a＋b)，22a＋b2222只需证(a＋b)≥2，22122即证a＋b≥(a＋b＋2ab)，222即证a＋b≥2ab，22∵a＋b≥2ab对一切实数恒成立，222∴a＋b≥(a＋b)成立．2综上所述，不等式得证．拓展提升(1)分析法证明不等式的依据是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论．(2)分析法证明不等式的思维是从要证的不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式．(3)用分析法证明数学命题时，一

8、定要恰当地用好“要证”“只需证”“即证”等词语．【跟踪训练2】在锐角三角形ABC中，用分析法证明：tanA·tanB＞1.sinA·sinB证明要证明tanA·tanB＞1，只需证明＞1.cosA·cosB因为A，B为锐角，所以cosA＞0，cosB＞0.只需证明cosA·cosB＜sinA·sinB，只需证明cosA·cosB－sinA·sinB＜0，即cos(A＋B)＜0.因为C为锐角，且A＋B＝π－C，所以A＋B为钝角，所以cos(A＋B)＜0成立