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时间:2020-02-28
《2013高考数学二轮名师精编精析:空间位置关系与证明.doc》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、空间位置关系与证明★★★高考在考什么【考题回放】1.(浙江)若是两条异面直线外的任意一点,则(B)A.过点有且仅有一条直线与都平行B.过点有且仅有一条直线与都垂直C.过点有且仅有一条直线与都相交D.过点有且仅有一条直线与都异面2.(06湖南)如图,过平行六面体ABCD-A1B1C1D1任意两条棱的中点作直线,其中与平面DBB1D1平行的直线共有(D)A.4条B.6条C.8条D.12条3.(湖北)平面外有两条直线和,如果和在平面内的射影分别是和,给出下列四个命题:①;②;③与相交与相交或重合;④与平行与平行或
2、重合.其中不正确的命题个数是( D )A.1B.2C.3D.44.(湖北)关于直线、与平面、,有下列四个命题:(D)①且,则;②且,则;③且,则;④且,则.其中真命题的序号是:A.①、②B.③、④C.①、④D.②、③5.在正方形中,过对角线的一个平面交于E,交于F,则()四边形一定是平行四边形四边形有可能是正方形四边形在底面ABCD内的投影一定是正方形四边形有可能垂直于平面以上结论正确的为①③④。(写出所有正确结论的编号)6.(上海)在平面上,两条直线的位置关系有相交、平行、重合三种.已知是两个相交平面,空
3、间两条直线在上的射影是直线,在上的射影是直线.用与,与的位置关系,写出一个总能确定与是异面直线的充分条件:,并且与相交(,并且与相交)★★高考要考什么线与线的位置关系:平行、相交、异面;线与面的位置关系:平行、相交、线在面内;面与面的位置关系:平行、相交;二.转化思想:;★★★高考将考什么【范例1】如图,在四棱锥中,底面,,,是的中点.(Ⅰ)证明;(Ⅱ)证明平面;(Ⅲ)求二面角的大小.(Ⅰ)证明:在四棱锥中,因底面,平面,故.,平面.而平面,.(Ⅱ)证明:由,,可得.是的中点,.由(Ⅰ)知,,且,所以平面.
4、而平面,.底面在底面内的射影是,,.又,综上得平面.(Ⅲ)解法一:过点作,垂足为,连结.则(Ⅱ)知,平面,在平面内的射影是,则.因此是二面角的平面角.由已知,得.设,可得.在中,,,则.在中,.解法二:由题设底面,平面,则平面平面,交线为.过点作,垂足为,故平面.过点作,垂足为,连结,故.因此是二面角的平面角.由已知,可得,设,可得.,.于是,.在中,.所以二面角的大小是.所以二面角的大小是.M变式:如图,在五面体中,点是矩形的对角线的交点,面是等边三角形,棱.(1)证明//平面;(2)设,证明平面.证明:
5、(Ⅰ)取CD中点M,连结OM.在矩形ABCD中,,又,则,连结EM,于是四边形EFOM为平行四边形.又平面CDE,EM平面CDE,∴FO∥平面CDE(Ⅱ)证明:连结FM,由(Ⅰ)和已知条件,在等边△CDE中,且.因此平行四边形EFOM为菱形,从而EO⊥FM而FM∩CD=M,∴CD⊥平面EOM,从而CD⊥EO.而,所以EO⊥平面CDF.ABCD【点晴】本小题考查直线与平面平行、直线与平面垂直等基础知识,注意线面平行和线面垂直判定定理的使用,考查空间想象能力和推理论证能力。【范例2】如图,在六面体中,四边形是边
6、长为2的正方形,四边形是边长为1的正方形,平面,平面,.(Ⅰ)求证:与共面,与共面.(Ⅱ)求证:平面平面;(Ⅲ)求二面角的大小(用反三角函数值表示).证明:以为原点,以所在直线分别为轴,轴,轴建立空间直角坐标系如图,则有.(Ⅰ)证明:.ABCD.与平行,与平行,于是与共面,与共面.(Ⅱ)证明:,,,.与是平面内的两条相交直线.平面.又平面过.平面平面.(Ⅲ)解:.设为平面的法向量,,.于是,取,则,.设为平面的法向量,,.于是,取,则,..二面角的大小为.解法2(综合法):(Ⅰ)证明:平面,平面.ABCD,
7、,平面平面.于是,.设分别为的中点,连结,有.,于是.由,得,故,与共面.过点作平面于点,则,连结,于是,,.,.,.所以点在上,故与共面.(Ⅱ)证明:平面,,又(正方形的对角线互相垂直),与是平面内的两条相交直线,平面.又平面过,平面平面.(Ⅲ)解:直线是直线在平面上的射影,,根据三垂线定理,有.过点在平面内作于,连结,则平面,于是,所以,是二面角的一个平面角.根据勾股定理,有.,有,,,.,,二面角的大小为.变式如图,已知是棱长为的正方体,点在上,点在上,且.(1)求证:四点共面;(4分)(2)若点在上
8、,,点在上,,垂足为,求证:平面;(4分)(3)用表示截面和侧面所成的锐二面角的大小,求.证明:(1)建立如图所示的坐标系,则,,,所以,故,,共面.又它们有公共点,所以四点共面.(2)如图,设,则,而,由题设得,得.因为,,有,又,,所以,,从而,.故平面.(3)设向量截面,于是,.而,,得,,解得,,所以.又平面,所以和的夹角等于或(为锐角).于是.故.【范例3】如图,在长方体AC1中,AD=AA1=1,AB
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