2013高考数学二轮名师精编精析：空间位置关系与证明.doc

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1、空间位置关系与证明★★★高考在考什么【考题回放】1．（浙江）若是两条异面直线外的任意一点，则（B）A．过点有且仅有一条直线与都平行B．过点有且仅有一条直线与都垂直C．过点有且仅有一条直线与都相交D．过点有且仅有一条直线与都异面2．（06湖南）如图，过平行六面体ABCD-A1B1C1D1任意两条棱的中点作直线,其中与平面DBB1D1平行的直线共有(D)A.4条B.6条C.8条D.12条3．（湖北）平面外有两条直线和，如果和在平面内的射影分别是和，给出下列四个命题：①；②；③与相交与相交或重合；④与平行与平行或

2、重合．其中不正确的命题个数是（　Ｄ　）Ａ．1Ｂ．2Ｃ．3Ｄ．44.（湖北）关于直线、与平面、，有下列四个命题：（D）①且，则；②且，则；③且，则；④且，则.其中真命题的序号是：A.①、②B.③、④C.①、④D.②、③5．在正方形中，过对角线的一个平面交于E，交于F，则()四边形一定是平行四边形四边形有可能是正方形四边形在底面ABCD内的投影一定是正方形四边形有可能垂直于平面以上结论正确的为①③④。（写出所有正确结论的编号）6．（上海）在平面上，两条直线的位置关系有相交、平行、重合三种．已知是两个相交平面，空

3、间两条直线在上的射影是直线，在上的射影是直线．用与，与的位置关系，写出一个总能确定与是异面直线的充分条件：，并且与相交（，并且与相交）★★高考要考什么线与线的位置关系:平行、相交、异面；线与面的位置关系:平行、相交、线在面内；面与面的位置关系:平行、相交；二．转化思想：；★★★高考将考什么【范例1】如图，在四棱锥中，底面，，，是的中点．（Ⅰ）证明；（Ⅱ）证明平面；（Ⅲ）求二面角的大小．（Ⅰ）证明：在四棱锥中，因底面，平面，故．，平面．而平面，．（Ⅱ）证明：由，，可得．是的中点，．由（Ⅰ）知，，且，所以平面．

4、而平面，．底面在底面内的射影是，，．又，综上得平面．（Ⅲ）解法一：过点作，垂足为，连结．则（Ⅱ）知，平面，在平面内的射影是，则．因此是二面角的平面角．由已知，得．设，可得．在中，，，则．在中，．解法二：由题设底面，平面，则平面平面，交线为．过点作，垂足为，故平面．过点作，垂足为，连结，故．因此是二面角的平面角．由已知，可得，设，可得．，．于是，．在中，．所以二面角的大小是．所以二面角的大小是．M变式：如图，在五面体中，点是矩形的对角线的交点，面是等边三角形，棱．（1）证明//平面；（2）设，证明平面．证明：

5、（Ⅰ）取CD中点M，连结OM.在矩形ABCD中，，又，则，连结EM，于是四边形EFOM为平行四边形.又平面CDE，EM平面CDE，∴FO∥平面CDE（Ⅱ）证明：连结FM，由（Ⅰ）和已知条件，在等边△CDE中，且.因此平行四边形EFOM为菱形，从而EO⊥FM而FM∩CD=M，∴CD⊥平面EOM，从而CD⊥EO.而，所以EO⊥平面CDF.ABCD【点晴】本小题考查直线与平面平行、直线与平面垂直等基础知识，注意线面平行和线面垂直判定定理的使用，考查空间想象能力和推理论证能力。【范例2】如图，在六面体中，四边形是边

6、长为2的正方形，四边形是边长为1的正方形，平面，平面，．（Ⅰ）求证：与共面，与共面．（Ⅱ）求证：平面平面；（Ⅲ）求二面角的大小（用反三角函数值表示）．证明：以为原点，以所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图，则有．（Ⅰ）证明：．ABCD．与平行，与平行，于是与共面，与共面．（Ⅱ）证明：，，，．与是平面内的两条相交直线．平面．又平面过．平面平面．（Ⅲ）解：．设为平面的法向量，，．于是，取，则，．设为平面的法向量，，．于是，取，则，．．二面角的大小为．解法2（综合法）：（Ⅰ）证明：平面，平面．ABCD，

7、，平面平面．于是，．设分别为的中点，连结，有．，于是．由，得，故，与共面．过点作平面于点，则，连结，于是，，．，．，．所以点在上，故与共面．（Ⅱ）证明：平面，，又（正方形的对角线互相垂直），与是平面内的两条相交直线，平面．又平面过，平面平面．（Ⅲ）解：直线是直线在平面上的射影，，根据三垂线定理，有．过点在平面内作于，连结，则平面，于是，所以，是二面角的一个平面角．根据勾股定理，有．，有，，，．，，二面角的大小为．变式如图，已知是棱长为的正方体，点在上，点在上，且．（1）求证：四点共面；（4分）（2）若点在上

8、，，点在上，，垂足为，求证：平面；（4分）（3）用表示截面和侧面所成的锐二面角的大小，求．证明：（1）建立如图所示的坐标系，则，，，所以，故，，共面．又它们有公共点，所以四点共面．（2）如图，设，则，而，由题设得，得．因为，，有，又，，所以，，从而，．故平面．（3）设向量截面，于是，．而，，得，，解得，，所以．又平面，所以和的夹角等于或（为锐角）．于是．故．【范例3】如图，在长方体AC1中，AD=AA1=1，AB