2020版高考数学大二轮复习8.1坐标系与参数方程学案理.docx

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1、第1讲　坐标系与参数方程考点1　极坐标1．极坐标与直角坐标的互化设M为平面上的一点，它的直角坐标为(x，y)，极坐标为(ρ，θ)．由图可知下面的关系式成立：或顺便指出，上式对ρ<0也成立．这就是极坐标与直角坐标的互化公式．2．圆的极坐标方程(1)圆心在极点，半径为R的圆的极坐标方程为ρ＝R.(2)圆心在极轴上的点(a,0)处，且过极点O的圆的极坐标方程为ρ＝2acosθ.(3)圆心在点处且过极点O的圆的极坐标方程为ρ＝2asinθ.[例1]　[2019·全国卷Ⅲ][选修4—4：坐标系与参数方程]如图，在极坐标系Ox中，

2、A(2,0)，B，C，D(2，π)，弧，，所在圆的圆心分别是(1,0)，，(1，π)，曲线M1是弧，曲线M2是弧，曲线M3是弧.(1)分别写出M1，M2，M3的极坐标方程；(2)曲线M由M1，M2，M3构成，若点P在M上，且

3、OP

4、＝，求P的极坐标．【解析】　本题主要考查极坐标方程的求解，考查数形结合思想，考查的核心素养是直观想象、数学运算．(1)由题设可得，弧，，所在圆的极坐标方程分别为ρ＝2cosθ，ρ＝2sinθ，ρ＝－2cosθ.所以M1的极坐标方程为ρ＝2cosθ，M2的极坐标方程为ρ＝2sinθ，M3的极坐

5、标方程为ρ＝－2cosθ.(2)设P(ρ，θ)，由题设及(1)知：若0≤θ≤，则2cosθ＝，解得θ＝；若≤θ≤，则2sinθ＝，解得θ＝或θ＝；若≤θ≤π，则－2cosθ＝，解得θ＝.综上，P的极坐标为或或或.(1)把直角坐标转化为极坐标时，通常有不同的表示法(极角相差2π的整数倍)，一般取θ∈[0,2π)．(2)直角坐标方程与极坐标方程的互化，关键要掌握好互化公式，研究极坐标系下图形的性质，可转化为我们熟悉的直角坐标系的情境.『对接训练』1．[2019·全国卷Ⅱ][选修4－4：坐标系与参数方程]在极坐标系中，O为极

6、点，点M(ρ0，θ0)(ρ0>0)在曲线C：ρ＝4sinθ上，直线l过点A(4,0)且与OM垂直，垂足为P.(1)当θ0＝时，求ρ0及l的极坐标方程；(2)当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程．解析：本题主要考查直线的极坐标方程、轨迹方程的求解，意在考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算．(1)因为M(ρ0，θ0)在C上，当θ0＝时，ρ0＝4sin＝2.由已知得

7、OP

8、＝

9、OA

10、cos＝2.设Q(ρ，θ)为l上除P的任意一点．连接OQ，在Rt△OPQ中，ρcos＝

11、

12、OP

13、＝2.经检验，点P在曲线ρcos＝2上．所以，l的极坐标方程为ρcos＝2.(2)设P(ρ，θ)，在Rt△OAP中，

14、OP

15、＝

16、OA

17、cosθ＝4cosθ，即ρ＝4cosθ.因为P在线段OM上，且AP⊥OM，故θ的取值范围是.所以，P点轨迹的极坐标方程为ρ＝4cosθ，θ∈.考点2　参数方程1．直线的参数方程直线的参数方程可以从它的普通方程转化而来，设直线的点斜式方程为y－y0＝k(x－x0)．其中k＝tanα，α为直线的倾斜角，代入上式，得y－y0＝(x－x0)，α≠，即＝.记上式的比值为t，整理后得(t为参数

18、)．这是直线的参数方程，其中参数t有明显的几何意义．在直角三角形M0AM中，

19、M0A

20、＝

21、x－x0

22、，

23、MA

24、＝

25、y－y0

26、，

27、M0M

28、＝

29、t

30、，即

31、t

32、表示直线上任一点M到定点M0的距离．2．圆的参数方程若圆心在点M0(x0，y0)，半径为R，则圆的参数方程为(θ为参数)．3．椭圆的参数方程若椭圆的中心不在原点，而在点M0(x0，y0)处，相应的椭圆的参数方程为(θ为参数)．通常规定参数θ的范围为[0,2π)．[例2]　[2018·全国卷Ⅱ]在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(θ为参数)，直线l的参数方程为(t

33、为参数)．(1)求C和l的直角坐标方程；(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2)，求l的斜率．【解析】　(1)解：曲线C的直角坐标方程为＋＝1.当cosα≠0时，l的直角坐标方程为y＝tanα·x＋2－tanα，当cosα＝0时，l的直角坐标方程为x＝1.(2)解：将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程(1＋3cos2α)t2＋4(2cosα＋sinα)t－8＝0.①因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内，所以①有两个解，设为t1，t2，则t1＋t2＝0.又由①得t1＋t2＝－，故

34、2cosα＋sinα＝0，于是直线l的斜率k＝tanα＝－2.(1)参数方程是以参变量为中介来表示曲线上点的坐标的方程，是曲线在同一坐标系下的又一种表示形式，在消参时要注意参变量的范围．(2)在参数方程应用不够熟练的情况下，可将其先化成直角坐标系下的普通方程，这样思路会更加清晰.『对接训练』2．[2018·天津卷]已知圆x2＋y2