2019届高考数学一轮复习选修部分坐标系与参数方程学案理

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1、坐标系与参数方程第一节坐标系本节主要包括2个知识点：　1.平面直角坐标系下图形的伸缩变换；2.极坐标系.突破点(一)　平面直角坐标系下图形的伸缩变换　设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．1．判断题(1)平面直角坐标系中点P(－2,3)在变换φ：的作用下得到的点为P′(－1,1)．(　　)(2)已知伸缩变换φ：经φ变换得到点A′(2,4)，则原来点的坐标为A(4，－2)．(　　)答案：(1)√

2、　(2)×2．填空题(1)直线l：x－2y＋3＝0经过φ：变换后得到的直线l′方程为________________．解析：设l′上的任一点P(x′，y′)由题得代入x－2y＋3＝0得x′－y′＋3＝0，直线l′的方程为x－y＋3＝0.答案：x－y＋3＝0(2)已知平面直角坐标系中点A(－2,4)经过φ变换后得A′的坐标为，则伸缩变换φ为________．解析：设伸缩变换φ：则有解得∴φ：答案：φ：25平面直角坐标系下图形的伸缩变换[典例]　求双曲线C：x2－＝1经过φ：变换后所得曲线C′的焦点坐标．[解]　设曲线C

3、′上任意一点P′(x′，y′)，由题意，将代入x2－＝1得－＝1，化简得－＝1，即－＝1为曲线C′的方程，可见经变换后的曲线仍是双曲线，则所求焦点坐标为F1(－5,0)，F2(5,0)．[方法技巧]应用伸缩变换公式时的两个注意点(1)曲线的伸缩变换是通过曲线上任意一点的坐标的伸缩变换实现的，解题时一定要区分变换前的点P的坐标(x，y)与变换后的点P′的坐标(x′，y′)，再利用伸缩变换公式建立联系．(2)已知变换后的曲线方程f(x，y)＝0，一般都要改写为方程f(x′，y′)＝0，再利用换元法确定伸缩变换公式．　　1

4、．求直线l：y＝6x经过φ：变换后所得到的直线l′的方程．解：设直线l′上任意一点P′(x′，y′)，由题意，将代入y＝6x得2y′＝6×，所以y′＝x′，即直线l′的方程为y＝x.2．在同一平面直角坐标系中，将直线x－2y＝2变成直线2x′－y′＝4，求满足图象变换的伸缩变换．解：设变换为代入第二个方程，得2λx－μy＝4，与x－2y＝2比较系数得λ25＝1，μ＝4，即因此，经过变换后，直线x－2y＝2变成直线2x′－y′＝4.3．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线C：x2＋y2＝36变为何种曲线，并求曲

5、线的焦点坐标．解：设圆x2＋y2＝36上任一点为P(x，y)，伸缩变换后对应点的坐标为P′(x′，y′)，则所以4x′2＋9y′2＝36，即＋＝1.所以曲线C在伸缩变换后得椭圆＋＝1，其焦点坐标为(±，0)．突破点(二)　极坐标系1．极坐标系的概念(1)极坐标系如图所示，在平面内取一个定点O，点O叫做极点，自极点O引一条射线Ox，Ox叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．(2)极坐标一般地，没有特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数．(3

6、)点与极坐标的关系一般地，极坐标(ρ，θ)与(ρ，θ＋2kπ)(k∈Z)表示同一个点，特别地，极点O的坐标为(0，θ)(θ∈R)，和直角坐标不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示．如果规定ρ＞0,0≤θ＜2π，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标(ρ，θ)表示；同时，极坐标(ρ，θ)表示的点也是唯一确定的．252．极坐标与直角坐标的互化点M直角坐标(x，y)极坐标(ρ，θ)互化公式1．判断题(1)圆心在极轴上的点(a,0)处，且过极点O的圆的极坐标方程为ρ＝2asinθ.(　　)(2)tanθ＝1与θ＝表示同一条

7、曲线．(　　)(3)点P的直角坐标为(－，)，那么它的极坐标可表示为.(　　)答案：(1)×　(2)×　(3)√2.填空题(1)点P的直角坐标为(1，－)，则点P的极坐标为________．解析：因为点P(1，－)在第四象限，与原点的距离为2，且OP与x轴所成的角为－，所以点P的极坐标为.答案：(2)在极坐标系中，圆ρ＝2cosθ在点M(2,0)处的切线的极坐标方程为________．解析：如图，∵ρ＝2cosθ，∴ρ2＝2ρcosθ，化为直角坐标方程为x2＋y2＝2x.由图象可知圆在点M(2,0)处的切线的直角坐标

8、方程为x＝2，即ρcosθ＝2.答案：ρcosθ＝2(3)在极坐标系中A，B两点间的距离为________．解析：法一：在极坐标系中，A，B两点如图所示，

9、AB

10、＝

11、OA

12、＋

13、OB

14、＝6.法二：A，B的直角坐标为A(1，－)，B(－2,2)．∴

15、AB

16、＝＝＝6.答案：6(4)圆ρ＝5cosθ－5sinθ的圆心的极坐标为________．25解析