怎样证明线段相等.doc

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1、怎样证明“线段相等”江苏潘晓燕在平面几何问题中，涉及证明线段相等的问题是最常见的题型之一，这类问题涉及的知识面较广，要迅速准确地找到解决途径，必须熟练掌握其基本证题方法，并善于结合题中条件灵活应用。证明线段相等的方法很多,本文仅从《轴对称》这一章进行一些探讨。(一)利用轴对称的性质利用轴对称的性质来证明两条线段相等在平面几何中并不常见，遇到问题时同学们一般也不会第一想到它，但不可否认这种方法却能给解题带来很大方便。例1．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，E是AD上任意一点，求证：BE=CE。E【分析】此题的证明方法很多，但利用轴对称的性质来证明，过程会显得简单明了。证

2、明：∵AB=AC，D是BC的中点∴AD是BC的垂直平分线∴B与C关于AD对称∵E是AD上任意一点∴BE=CE【点评】虽然利用轴对称的性质来解决问题的题型在平面几何中并不常见，但从往年的中考试卷来看，轴对称以及与之相关的内容却被出卷人越来越喜欢，所以同学们对这部分内容要加以重视。（二）利用线段垂直平分线性质线段垂直平分线性质：线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等，这一性质在平面几何中经常遇到，同学们对它相对较熟。例2．已知：如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AC于E，若AB＝8，DE＝3，4求BE两点间的距离。【分析】根据已知我们可求出AE的长度，再利用线段垂直平分线性质

3、来求证AE＝BE，即可。解：∵DE是线段AB的垂直平分线∴AE＝BE，AD＝BD在Rt△ADE中，∴AE＝5即BE＝AE=5【点评】利用线段垂直平分线性质证明两条线段相等摆脱了利用全等证明的禁锢，给人一种清新的感觉。（三）利用等腰三角形的判定等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）。两条线段在同一个三角形中，通常用此方法证明，而且这方法同学们掌握得相当不错。例3．已知：如图，AD//BC，BD平分∠ABC。求证：AB＝AD。【分析】要证明AB＝AD，我们从图中发现，它们并不处于两个三角形中，用全等证明似乎不太可能。根据BD平分∠AB

4、C，我们可知∠1＝∠2，又利用AD//BC这个条件，可得∠2＝∠3，能得到△ABD的两个角相等，再利用等角对等边的性质，得出结论。所以，有时我们在证明线段相等时，可转化成证明角相等。证明：∵BD平分∠ABC∴∠1＝∠2∵AD//BC∴∠2＝∠3∴∠1＝∠3∴AB＝AD（等角对等边）【点评】等角对等边性质与全等证明两条线段相等是平面几何4中最常用的两种方法，区别是等角对等边性质必须用于一个三角形中的两条线段，而全等必须在两个三角形中，所以同学们做题选方法时一定要注意它们的区别。（四）利用等腰三角形的三线合一性质等腰三角形的三线合一性质：等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高互相重

5、合。此性质同学们掌握得还可以，但大部分同学不会灵活应用。例4．已知：如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB＝AC，AD＝AE，求证：BD＝CE。F【分析】因为△ABC和△ADE是有公共顶点，并且底边在同一直线上的等腰三角形，所以作△ABC（或△ADE）的高，可同时平分BC，DE。证明：作AF⊥BC于F，则AF⊥DE∵AB=AC，AD=AE∴BF=CF，DF=EF（等腰三角形的三线合一）∴BD=CE【点评】在等腰三角形中，需注意灵活运用“三线合一”的性质，这样会使你的过程更简单。（五）利用两条线段的和或差等于某一条线段（证明两条线段相等只是隐含于其中）例5．已知：如图：在△ABC中，AD

6、平分∠BAC，∠ACB＝2∠B，求证：AB＝AC＋CD。4【分析】本题并没有直接显示要证哪两条线段相等，看到这类结论我们知道必须把它进行转化。而证明一条长线段等于另两条线段之和的常用方法是截长补短法。对于此题来说，截长法，补短法都适用，在此只详写了补短法，截长法同学们可自己独立完成。所以本题中，可延长AC到E，使CE＝CD，则原结论可转化为证AB＝AE。证明：延长AC到E，使CE＝CD，连结DE∵CE＝CD，∴∠E＝∠CDE∴∠ACB＝2∠E又∵∠ACB＝2∠B，∴∠B＝∠E∵∠1＝∠2，AD＝AD∴△ABD≌△AED∴AB＝AE，即AB＝AC＋CD【点评】任何一道求解（证）题，其分析过

7、程都是从未知入手，向已知化归，从而体现了一个重要的数学思想：化归思想。4